黎曼積分

檢查點

• 積分的加法性 Basis 若 f 在 [a, b] 上黎曼可積，且 c ∈ (a, b)，則 f 在 [a, c] 與 [c, b] 上均可積，且積分滿足 ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f。本章由達布和出發證明加法性（additivity），透過約定 ∫_a^b f = −∫_b^a f 將其推廣至有向區間，並藉此引入積分上限可變的函數 F(x) = ∫_a^x f(t) dt——通往牛頓–萊布尼茲公式的橋樑。
• 積分換元法 Basis 若 φ 在 [α, β] 上連續可微且 φ([α, β]) ⊆ [a, b]，f 在 [a, b] 上連續，則 ∫_α^β f(φ(t)) φ'(t) dt = ∫_{φ(α)}^{φ(β)} f(x) dx。本章由連鎖律與牛頓–萊布尼茲公式推導換元積分法（substitution rule），介紹定積分形式（直接變換積分限）與不定積分形式 ∫ f(φ(t)) φ'(t) dt = ∫ f(x) dx，並演示標準換元模式——線性、三角與反向換元。
• 黎曼積分的定義 Basis 黎曼積分（Riemann integral）將 [a, b] 上有界函數的積分定義為：當上達布和與下達布和隨分割趨於精細時，二者的公共極限。本章建立分割、上和與下和的概念及黎曼可積性，並證明閉區間上的每個連續函數均可積。
• 廣義積分的收斂判別法 Basis 廣義積分的收斂判別法與無窮級數的判別法相互對應。本章發展比較判別法、極限比較判別法、柯西收斂判準，以及針對振盪積分（如 ∫_1^∞ (sin x) / x dx）的 Abel–Dirichlet 判別法；定義絕對收斂與條件收斂；並利用積分第二中值定理處理較棘手的振盪情形。
• 廣義積分 Basis 黎曼積分定義在有界區間上的有界函數；廣義積分（improper integral）透過取適當積分的極限，將其推廣至無界區間（∫_a^∞ f）以及在端點附近無界的函數（∫_a^b f，f 在 b 處爆炸）。本章定義兩類廣義積分，區分收斂（convergence）與發散（divergence），並計算典型範例：∫_1^∞ x^(−p) dx、∫_0^1 x^(−p) dx 以及 Gamma 積分 ∫_0^∞ e^(−x) x^(s−1) dx。
• 分部積分法 Basis 將乘積法則 (uv)' = u'v + uv' 在 [a, b] 上積分並應用牛頓–萊布尼茲公式，得到分部積分法（integration by parts）公式 ∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b u'(x) v(x) dx。本章推導此公式，介紹不定積分形式 ∫ u dv = uv − ∫ v du，並演示典型應用：∫ x e^x dx、∫ ln x dx 以及 ∫ x^n e^x dx 的遞推公式。
• 積分均值定理 Basis 若 f 在 [a, b] 上連續，則存在 ξ ∈ [a, b] 使得 ∫_a^b f(x) dx = f(ξ)(b − a)——積分等於某中間點的函數值乘以區間長度。本節結合單調性界 m(b − a) ≤ ∫ f ≤ M(b − a) 與中間值定理來證明此定理，給出帶權形式 ∫ fg = f(ξ) ∫ g（g 為非負權函數），並將結果幾何地解釋為「f 在 [a, b] 上的平均值」。
• 積分的單調性 Basis 若 f、g 在 [a, b] 上可積且 f ≤ g 逐點成立，則 ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g。本節從 Darboux 和的定義出發證明單調性，推導標準估計 |∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f|，並得出對任意界 m ≤ f ≤ M 的估計 m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a)——這正是積分均值定理的基礎。
• 牛頓-萊布尼茨公式 Basis 微積分基本定理分為兩部分：對 [a, b] 上的連續函數 f，函數 F(x) = ∫_a^x f(t) dt 可微且 F'(x) = f(x)；對 f 的任意原函數 G，有 ∫_a^b f(x) dx = G(b) − G(a)。本節證明兩部分——第一部分用積分均值定理對差商取極限，第二部分用「原函數相差常數」引理——並說明牛頓-萊布尼茨公式如何將計算積分化為求反導函數。
• 原函數（反導函數） Basis f 在區間 I 上的原函數（primitive/antiderivative）是一個可微函數 F，滿足對所有 x ∈ I 均有 F'(x) = f(x)；同一個 f 的任意兩個原函數相差一個常數。本節定義原函數，從拉格朗日均值定理證明「相差常數」定理，引入不定積分記號 ∫ f(x) dx = F(x) + C，並說明不定積分（函數族）與定積分（數值）在本質上的區別。
• 黎曼可積函數的類別 Basis 除連續函數外，閉區間上有界函數中還有兩大類是 Riemann 可積的：單調函數，以及只有有限個不連續點的函數（更一般地，不連續點集測度為零——Lebesgue 判則）。本節證明單調函數和分段連續函數的可積性，陳述 Lebesgue 以不連續點集為基礎的刻畫，並舉出一個有界但不可積的函數（Dirichlet 函數）作為反例。
• 第二積分均值定理 Basis 若 g 在 [a, b] 上單調，f 可積，則存在 ξ ∈ [a, b] 使得 ∫_a^b f(x) g(x) dx = g(a) ∫_a^ξ f(x) dx + g(b) ∫_ξ^b f(x) dx——這是第二積分均值定理（second mean value theorem for integrals）的 Bonnet 形式。本節以 Abel 求和法論證（與分部積分自然配對）推導此定理，給出 g 非負單調的特例，並用它證明振盪積分 ∫_1^∞ (sin x) / x dx 的收斂性。