黎曼可積函數的類別

Basis
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先備知識

Riemann 積分的定義要求對某個分割 PP 滿足 U(f,P)−L(f,P)<εU(f,P) - L(f,P) < \varepsilon。連續函數憑藉一致連續性通過這個測試。但連續性遠非必要條件——許多有跳躍或無窮多次振盪的函數仍然可積。本節找出連續函數之外最重要的兩類，並指出一個簡單的不可積函數。

回顧：Darboux 判則

f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} 有界是 Riemann 可積的，當且僅當對任意 ε>0\varepsilon > 0，存在分割 PP 使得

U(f,P)−L(f,P)<ε.U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon.

關鍵量是每個子區間上的振盪（oscillation）：ωi≔Mi−mi≥0\omega_i \coloneqq M_i - m_i \ge 0，故 U−L=∑ωiΔxiU - L = \sum \omega_i \Delta x_i。要使 U−LU - L 小，需要讓振盪或子區間寬度變小。

單調函數可積

定理。 若 f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} 單調（遞增或遞減），則 ff 是 Riemann 可積的。

證明（ff 遞增的情形）。 在任意子區間 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上，上確界和下確界就是端點值：

Mi=f(xi),mi=f(xi−1),ωi=f(xi)−f(xi−1).M_i = f(x_i), \qquad m_i = f(x_{i-1}), \qquad \omega_i = f(x_i) - f(x_{i-1}).

對均勻分割 PnP_n（Δxi=(b−a)/n\Delta x_i = (b-a)/n）：

U(f,Pn)−L(f,Pn)=b−an∑i=1n(f(xi)−f(xi−1))=(b−a)(f(b)−f(a))n.U(f, P_n) - L(f, P_n) = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr) = \frac{(b-a)(f(b) - f(a))}{n}.

這是一個望遠鏡求和，化為單一因子。只要取 n>(b−a)(f(b)−f(a))/εn > (b-a)(f(b)-f(a))/\varepsilon，其值即小於 ε\varepsilon。□\square

這個界不依賴於 ff 的單調方式——即使有無窮多個跳躍間斷點也無妨——只依賴於全變差 f(b)−f(a)f(b) - f(a)。

分段連續函數可積

若存在有限個點 a=c0<c1<⋯<ck=ba = c_0 < c_1 < \cdots < c_k = b 使得 ff 在每個開區間 (cj−1,cj)(c_{j-1}, c_j) 上連續，且在每個 cjc_j 處有有限的單側極限，則稱 ff 在 [a,b][a,b] 上分段連續。

定理。 [a,b][a,b] 上每個有界的分段連續函數均 Riemann 可積。

證明概要。 將每個不連續點 cjc_j 納入分割中。在不包含 cjc_j 的子區間上，ff 連續，細化分割可使振盪任意小。在每個 cjc_j 附近，用寬度為 δ\delta 的小區間將其包圍；這些區間對 U−LU - L 的貢獻至多為 2∥f∥∞⋅kδ2\|f\|_\infty \cdot k\delta，當 δ→0\delta \to 0 時趨於零。組合即得 Darboux 判則。□\square

Dirichlet 函數不可積

定義 Dirichlet 函數（Dirichlet function）：

D(x)≔{1x∈Q,0x∉Q.D(x) \coloneqq \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & x \notin \mathbb{Q}. \end{cases}

DD 在 [0,1][0,1] 上有界，但它不是 Riemann 可積的。在每個子區間 [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] 上，有理數和無理數都稠密，故對任意分割 PP 的每個 ii 均有 Mi=1M_i = 1，mi=0m_i = 0。因此

U(D,P)=∑i1⋅Δxi=1,L(D,P)=∑i0⋅Δxi=0,U(D, P) = \sum_i 1 \cdot \Delta x_i = 1, \qquad L(D, P) = \sum_i 0 \cdot \Delta x_i = 0,

對每一個分割均如此。上積分和下積分分別為 11 和 00——永遠不一致。故 DD 不是 Riemann 可積的。

Lebesgue 判則

Riemann 可積函數的精確刻畫使用測度零集（set of measure zero）的概念：集合 E⊆[a,b]E \subseteq [a,b] 具有測度零（measure zero），若對任意 ε>0\varepsilon > 0，EE 能被可數個總長度小於 ε\varepsilon 的區間覆蓋。

Lebesgue 定理。 有界函數 f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} 是 Riemann 可積的，當且僅當其不連續點集的測度為零。

證明超出目前先修範圍，但此命題統一了以上所有例子：

  • 連續函數：無不連續點，測度平凡為零。
  • 單調函數：至多可數個跳躍不連續點，故測度為零。
  • 分段連續函數：有限個不連續點，測度為零。
  • Dirichlet 函數：處處不連續，不連續點集為 [0,1][0,1]，測度為 1≠01 \neq 0。

摘要

  • Darboux 判則：ff 可積當且僅當振盪 ωi=Mi−mi\omega_i = M_i - m_i 可以被一致地壓小。
  • 單調函數可積：望遠鏡估計 (b−a)(f(b)−f(a))/n→0(b-a)(f(b)-f(a))/n \to 0，無論 ff 有多少跳躍都成立。
  • 分段連續函數可積：將不連續點隔離在小區間內；連續性處理其餘部分。
  • Dirichlet 函數 D=1QD = \mathbf{1}_\mathbb{Q} 不可積：上和恆為 11，下和恆為 00。
  • Lebesgue 判則：有界函數是 Riemann 可積的，當且僅當其不連續點集測度為零。