リーマン積分可能な関数のクラス

リーマン積分の定義は $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$ がある分割 $P$ に対して成り立つことを要求する。連続関数はこのテストを一様連続性で合格する。しかし連続性は必要ではない — ジャンプや無限に多くの振動を持つ多くの関数は依然として積分可能である。このチェックポイントは、連続関数を超えた二つの最も重要なクラスを特定し、積分不可能な有界関数の簡単な例を指摘する。

まとめ：ダルボーの判定法

$f: [a,b] \to \mathbb{R}$ が有界であることと、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある分割 $P$ が存在して

U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon.

が成り立つことは同値である。

重要な量は各部分区間での振動である。 $\omega_i \coloneqq M_i - m_i \ge 0$ とすると、 $U - L = \sum \omega_i \Delta x_i$ である。 $U - L$ を小さくするには、振動か部分区間の幅を小さくする必要がある。

単調関数は積分可能である

定理。 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ が単調（増加または減少）なら、 $f$ はリーマン積分可能である。

証明（ $f$ が増加の場合）。 任意の部分区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上で、上限と下限は単に端点の値である：

M_i = f(x_i), \qquad m_i = f(x_{i-1}), \qquad \omega_i = f(x_i) - f(x_{i-1}).

均等分割 $P_n$ で $\Delta x_i = (b-a)/n$ のとき：

U(f, P_n) - L(f, P_n) = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr) = \frac{(b-a)(f(b) - f(a))}{n}.

このテレスコープして単一の因子となり、 $n > (b-a)(f(b)-f(a))/\varepsilon$ を選ぶと $\varepsilon$ より小さくなる。 $\square$

この範囲は $f$ がどのように単調であるかに依存しない — 無限に多くのジャンプ不連続性を持つ可能性がある — 全変動 $f(b) - f(a)$ のみに依存する。

区分連続関数は積分可能である

関数 $f$ が $[a,b]$ で区分連続であるとは、有限個の点 $a = c_0 < c_1 < \cdots < c_k = b$ が存在して、 $f$ が各開区間 $(c_{j-1}, c_j)$ で連続であり、各 $c_j$ で有限な片側極限を持つことである。

定理。 $[a,b]$ 上のすべての区分連続な有界関数はリーマン積分可能である。

証明スケッチ。 各不連続性の点 $c_j$ を分割に含める。 $c_j$ を含まない部分区間上で、 $f$ は連続なので、細分化により振動を任意に小さくできる。各 $c_j$ 付近では、幅 $\delta$ の小さい区間で囲む。これらの区間からの $U - L$ への寄与は最大 $2\|f\|_\infty \cdot k\delta$ であり、 $\delta \to 0$ のとき 0 になる。結合するとダルボーの判定法を得る。 $\square$

ディリクレ関数は積分可能ではない

ディリクレ関数を定義する：

D(x) \coloneqq \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}, \\ 0 & x \notin \mathbb{Q}. \end{cases}

$D$ は $[0,1]$ 上で有界だが、リーマン積分可能ではない。すべての部分区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上で、有理数と無理数は密集しているので、すべての $i$ とすべての分割 $P$ に対して $M_i = 1$ と $m_i = 0$ である。したがって

U(D, P) = \sum_i 1 \cdot \Delta x_i = 1, \qquad L(D, P) = \sum_i 0 \cdot \Delta x_i = 0,

すべての分割に対してである。上積分と下積分はそれぞれ 1 と 0 である — 決して一致しない。したがって $D$ はリーマン積分可能ではない。

ルベーグの特性化

リーマン積分可能な関数の正確な特性化は、測度ゼロの集合の概念を使う。集合 $E \subseteq [a,b]$ は測度ゼロを持つとは、すべての $\varepsilon > 0$ に対して、そのカウント可能個の区間によるカバーが存在して、その総長さが $\varepsilon$ より小さいことである。

ルベーグの定理。 有界関数 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ がリーマン積分可能であることと、その不連続点の集合が測度ゼロを持つことは同値である。

証明は現在の必要条件を超えるが、陳述は上の例を統一する：

連続関数：不連続点なし、測度ゼロは自明。
単調関数：最大カウント可能個のジャンプ不連続性、測度ゼロ。
区分連続関数：有限個の不連続性、測度ゼロ。
ディリクレ関数： $[0,1]$ すべてで不連続、不連続点の集合は測度 1。

まとめ

ダルボーの判定法： $f$ が積分可能であることと、振動 $\omega_i = M_i - m_i$ を一様に小さくできることは同値。
単調関数は積分可能である。テレスコープ範囲 $(b-a)(f(b)-f(a))/n \to 0$ は、 $f$ がいくつジャンプを持とうとも成り立つ。
区分連続関数は積分可能である。不連続点を小さい区間で隔離し、連続性で残りを処理する。
ディリクレ関数 $D = \mathbf{1}_\mathbb{Q}$ は積分可能ではない。上和は常に 1、下和は常に 0。
ルベーグの特性化：有界関数はリーマン積分可能であることと、その不連続点の集合が測度ゼロを持つことは同値である。