積分的單調性

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 積分

先備知識

一旦將積分定義為 Darboux 和的極限，接下來最重要的事就是理解它究竟有哪些性質。其中最直觀、也最實用的一條是：若某函數處處不低於另一個函數，則其積分也不小。這個性質——積分單調性（monotonicity of integrals）——幾乎是所有涉及積分的估計的根源。

單調性

定理。 設 f,g:[a,b]→Rf, g: [a,b] \to \mathbb{R} 均為 Riemann 可積函數。若對所有 x∈[a,b]x \in [a,b] 均有 f(x)≤g(x)f(x) \le g(x)，則

∫abf(x) dx  ≤  ∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\le\; \int_a^b g(x)\,dx.

證明。 對任意分割 PP，每個上 Darboux 和均滿足 U(f,P)≤U(g,P)U(f, P) \le U(g, P)，因為 sup⁡[xi−1,xi]f≤sup⁡[xi−1,xi]g\sup_{[x_{i-1},x_i]} f \le \sup_{[x_{i-1},x_i]} g。對所有分割取下確界，得 ∫abf≤∫ab‾g=∫abg\int_a^b f \le \overline{\int_a^b} g = \int_a^b g。（以下 Darboux 和作同樣論證亦可。）□\square

積分的線性

作為單調性的配套性質，積分具有線性：若 ff 和 gg 均可積，且 α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}，則 αf+βg\alpha f + \beta g 也可積，且

∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg.\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g.

這由定義直接得出：和的線性在取上/下確界的過程中傳遞到積分。

絕對值估計

推論。 若 ff 在 [a,b][a,b] 上可積，則 ∣f∣|f| 也可積，且

∣∫abf(x) dx∣  ≤  ∫ab∣f(x)∣ dx.\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \;\le\; \int_a^b |f(x)|\,dx.

證明。 由 −∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|，對單調性各施用一次：

−∫ab∣f∣  ≤  ∫abf  ≤  ∫ab∣f∣.-\int_a^b |f| \;\le\; \int_a^b f \;\le\; \int_a^b |f|.

這等價於 ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣|\int_a^b f| \le \int_a^b |f|。（∣f∣|f| 的可積性來自：∣f∣|f| 在任意子區間上的振盪不超過 ff 的振盪，故 Darboux 判準仍成立。）□\square

這個估計是求和三角不等式 ∣∑ai∣≤∑∣ai∣|\sum a_i| \le \sum |a_i| 的積分版本。

逐點界給出的估計

推論。 若 ff 可積且對所有 x∈[a,b]x \in [a,b] 均有 m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M，則

m(b−a)  ≤  ∫abf(x) dx  ≤  M(b−a).(1)m(b-a) \;\le\; \int_a^b f(x)\,dx \;\le\; M(b-a). \tag{1}

證明。 對 m≤f≤Mm \le f \le M 施用單調性：常數函數 mm 在 [a,b][a,b] 上的積分為 m(b−a)m(b-a)，MM 同理。□\square

估計 (1)(1) 是積分均值定理的關鍵成分：將 ∫f/(b−a)\int f / (b-a) 夾在 mm 和 MM 之間，再施用中間值定理。

估計範例

∫01e−x2 dx\int_0^1 e^{-x^2}\,dx 最大可以多大？在 [0,1][0,1] 上被積函數滿足 e−1≤e−x2≤1e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1（因為 0≤x2≤10 \le x^2 \le 1），故由 (1)(1) 立即得到：

e−1  ≤  ∫01e−x2 dx  ≤  1.e^{-1} \;\le\; \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\le\; 1.

精確值（π2 erf(1)≈0.747\frac{\sqrt\pi}{2}\,\mathrm{erf}(1) \approx 0.747）需要更多工作，但這個界由單調性免費得到。

摘要

  • 單調性：f≤gf \le g 逐點成立蘊含 ∫f≤∫g\int f \le \int g。
  • 線性：∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g。
  • 絕對值估計：∣∫abf∣≤∫ab∣f∣|\int_a^b f| \le \int_a^b |f|——積分版三角不等式。
  • 界：若 m≤f≤Mm \le f \le M 處處成立，則 m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a)。
  • 這些性質組合在一起，給出分析中所有標準積分估計的來源。