積分的加法性

假設你想對一個在某區間兩段上由不同公式定義的函數求積分——比如一段上升後趨於平坦的斜坡。整個區間上的積分恰好是兩段積分之和。這就是加法性（additivity），它既能從第一原理直接證明，影響又極為深遠：它是連結積分與微分的積分上限函數的基礎。

為何需要加法性

實際中許多函數是分段定義的：在不同的子區間上遵循不同的公式。若沒有加法性，就需要在整個定義域上找到一個統一公式；有了加法性，你可以在每個分界點切開定義域，分別積分再相加。加法性還讓你能做積分的減法：$\int_c^b f = \int_a^b f - \int_a^c f$，這在估計尾部或隔離子區間貢獻時至關重要。

正式敘述與證明

定理（加法性）。 設 $f$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可積，且 $c \in (a, b)$。則 $f$ 在 $[a, c]$ 與 $[c, b]$ 上均可積，且

$$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^b f(x)\,dx.$$

證明。 回顧：$f$ 在 $[a, b]$ 上可積若且唯若對任意 $\varepsilon > 0$，存在 $[a, b]$ 的分割 $P$ 使得 $U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$，其中 $U$ 與 $L$ 分別表示上、下達布和。

第一步——插入 $c$ 加細分割。 設 $P$ 為 $[a, b]$ 的任意分割，令 $P^* = P \cup \{c\}$ 為插入點 $c$ 後所得的分割。若 $c$ 已在 $P$ 中，則 $P^* = P$。否則 $c$ 落在 $P$ 的某個子區間 $[x_{k-1}, x_k]$ 的內部，被分成 $[x_{k-1}, c]$ 與 $[c, x_k]$ 兩段。對於上和，原區間的上確界滿足

$$M_k \;=\; \sup_{[x_{k-1},x_k]} f \;\geq\; \sup_{[x_{k-1},c]} f \quad\text{及}\quad M_k \;\geq\; \sup_{[c,x_k]} f,$$

因此以兩個較小（或相等）的項取代 $M_k(x_k - x_{k-1})$ 只會使上和減少：$U(f, P^*) \leq U(f, P)$。對下確界做類比論證得 $L(f, P^*) \geq L(f, P)$。從而

$$U(f, P^*) - L(f, P^*) \;\leq\; U(f, P) - L(f, P).$$

第二步——子區間上的可積性。 由於 $f$ 在 $[a, b]$ 上可積，對任意 $\varepsilon > 0$，取 $P$ 使得 $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$。如上加細至 $P^*$，令 $P_1 \coloneqq P^* \cap [a, c]$，$P_2 \coloneqq P^* \cap [c, b]$。達布和可以精確拆分：

$$U(f, P^*) = U(f, P_1) + U(f, P_2), \qquad L(f, P^*) = L(f, P_1) + L(f, P_2).$$

由於各項均非負，

$$U(f, P_1) - L(f, P_1) \;\leq\; U(f, P^*) - L(f, P^*) < \varepsilon,$$

對 $P_2$ 同理。由於 $\varepsilon > 0$ 任意，$f$ 在 $[a, c]$ 與 $[c, b]$ 上均可積。

第三步——加法公式。 記 $I \coloneqq \int_a^b f$，$I_1 \coloneqq \int_a^c f$，$I_2 \coloneqq \int_c^b f$。對 $[a,b]$ 的任意包含 $c$ 的分割 $P^*$：

$$L(f, P_1) + L(f, P_2) \;\leq\; I_1 + I_2 \;\leq\; U(f, P_1) + U(f, P_2).$$

兩端分別等於 $L(f, P^*)$ 與 $U(f, P^*)$，且當 $P^*$ 的網格寬趨於零時，二者均收斂至 $I$。故 $I_1 + I_2 = I$。$\square$

方向約定與帶號積分

達布定義隱含 $a < b$。為統一處理所有端點順序，採用如下約定：

$$\int_a^a f(x)\,dx \;\coloneqq\; 0, \qquad \int_b^a f(x)\,dx \;\coloneqq\; -\int_a^b f(x)\,dx \quad (a < b).$$

有了這些約定，加法公式 $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ 對實數線上 $a$、$b$、$c$ 的任意排列均成立。以 $c < a < b$ 為例：

$$\int_a^b f \;=\; \int_c^b f - \int_c^a f \;=\; \int_c^b f + \int_a^c f,$$

這正是將 $c$ 與 $a$ 的角色互換後的原始加法公式。其他情形可類似推導。帶號約定確保你可以自由插入或移除中間積分限，而無需追蹤哪個端點更大。

積分上限函數

在積分域內固定基點 $a$，定義

$$F(x) \;\coloneqq\; \int_a^x f(t)\,dt$$

對 $[a, b]$ 上的所有 $x$ 成立。這是以 $a$ 為基點的 $f$ 的積分上限函數（variable-upper-limit function）（也稱積分函數）。

良定義性。 對 $[a, x] \subset [a, b]$ 應用加法性，$f$ 在 $[a, b]$ 上的可積性即蘊含其在 $[a, x]$ 上對每個 $x \in [a, b]$ 均可積。因此 $F(x)$ 對每個這樣的 $x$ 均是良定義的實數。

更換基點。 若將 $a$ 替換為另一個基點 $a'$，所得函數 $F_{a'}(x) = \int_{a'}^x f(t)\,dt$ 滿足

$$F_{a'}(x) \;=\; F(x) \;-\; \underbrace{F(a')}_{\text{常數}} \;=\; F(x) + C.$$

更換基點使 $F$ 平移一個常數。這是原函數只在差一個加性常數的意義下唯一這一主題的第一個提示——在原函數章節中將完整展開。

函數 $F$ 是通往牛頓–萊布尼茲公式的關鍵橋樑：當 $f$ 連續時，$F$ 可微且 $F'(x) = f(x)$，這意味著 $F$ 是 $f$ 的原函數。

計算範例：分段線性函數

考慮帳篷函數

$$f(x) \;=\; \begin{cases} x & 0 \leq x \leq 1, \\ 2 - x & 1 < x \leq 2. \end{cases}$$

它在 $[0,1]$ 上從 $0$ 線性上升至 $1$，再在 $[1,2]$ 上下降回 $0$。在 $c = 1$ 處應用加法性：

$$\int_0^2 f(x)\,dx \;=\; \int_0^1 x\,dx \;+\; \int_1^2 (2-x)\,dx.$$

每段的圖形是底為 $1$、高為 $1$ 的直角三角形，故每個積分均等於 $\tfrac{1}{2}(1)(1) = \tfrac{1}{2}$。因此

$$\int_0^2 f(x)\,dx \;=\; \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \;=\; 1.$$

現在用積分上限函數追蹤累積面積的增長過程。對 $x \in [0,1]$，

$$F(x) = \int_0^x t\,dt = \frac{x^2}{2}.$$

對 $x \in [1,2]$，在 $1$ 處切分：

$$F(x) = \int_0^1 t\,dt + \int_1^x (2-t)\,dt = \frac{1}{2} + \left[2t - \frac{t^2}{2}\right]_1^x = \frac{1}{2} + 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} = 2x - \frac{x^2}{2} - 1.$$

可驗證 $F(0) = 0$，$F(1) = \tfrac{1}{2}$，$F(2) = 1$，與上面計算的面積一致。

摘要

• 加法性：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可積且 $c \in (a, b)$，則 $f$ 在 $[a, c]$ 與 $[c, b]$ 上均可積，且 $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$。
• 證明：在任意分割中插入 $c$（此操作不增加 $U - L$），在 $c$ 處精確拆分各和，再取極限。
• 方向約定：$\int_a^a f \coloneqq 0$，$\int_b^a f \coloneqq -\int_a^b f$，使加法性對 $a, b, c$ 的任意排列均成立。
• 積分上限函數：$F(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt$ 在 $[a, b]$ 上良定義；更換基點使 $F$ 平移一個常數。
• $F$ 是通往牛頓–萊布尼茲公式的橋樑：對連續的 $f$，有 $F'(x) = f(x)$。