廣義積分

Basis
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先備知識

你所定義的黎曼積分要求積分域與函數均有界。然而分析中最重要的積分——總概率、傅立葉變換、拉普拉斯變換、物理中的位能井——幾乎總是涉及無限區間或在某處爆炸的函數。廣義積分（improper integral）提供了嚴格處理這兩類情況的方法：將它們化為適當黎曼積分的極限。當極限存在且有限時，積分收斂（convergence）；否則發散（divergence）。

為何需要推廣積分？

幾個典型問題說明了這種需求。

總概率。 標準常態密度 12πe−x2/2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} 定義在整個 R\mathbb{R} 上。「總概率等於 11」意味著

12π∫−∞∞e−x2/2 dx=1,\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = 1,

這需要在無界域上積分。

傅立葉變換。 傅立葉變換 f^(ξ)=∫−∞∞f(x)e−2πiξx dx\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \xi x}\,dx 是訊號處理與偏微分方程理論的骨幹，它定義在 R\mathbb{R} 上。

冪次奇異性。 函數 x−1/2x^{-1/2} 在 (0,1](0, 1] 上無界，然而按任何合理的計算方式，其從 00 到 11 的積分都應等於 22。讓「合理的計算方式」變得精確，正是第二類廣義積分所做的事。

第一類：無界區間

定義。 設 ff 在 [a,b][a, b] 上對每個 b>ab > a 均為黎曼可積。[a,∞)[a, \infty) 上的廣義積分定義為

∫a∞f(x) dx  ≔  lim⁡b→∞∫abf(x) dx.\int_a^{\infty} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.

若此極限存在且有限，積分收斂至該值；否則發散。

類似地，向 −∞-\infty 延伸的積分定義為：

∫−∞bf(x) dx  ≔  lim⁡a→−∞∫abf(x) dx.\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx.

對雙向無限積分，選取任意便利的中間點 cc 定義：

∫−∞∞f(x) dx  ≔  ∫−∞cf(x) dx  +  ∫c∞f(x) dx,\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \int_{-\infty}^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^{\infty} f(x)\,dx,

要求兩個部分分別獨立收斂。（若允許兩個極限同時趨近，得到的是柯西主值（Cauchy principal value），這是一個較弱的概念，本章不使用。）

計算範例：[1,∞)[1, \infty) 上的 pp 積分

考慮 ∫1∞x−p dx\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx，其中 pp 為實數參數。

情形 p≠1p \neq 1。 對 b>1b > 1，

∫1bx−p dx=[x1−p1−p]1b=b1−p−11−p.\int_1^b x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b = \frac{b^{1-p} - 1}{1-p}.

當 b→∞b \to \infty 時：

  • 若 p>1p > 1 則 1−p<01 - p < 0，故 b1−p→0b^{1-p} \to 0，極限為 0−11−p=1p−1\dfrac{0 - 1}{1-p} = \dfrac{1}{p-1}。
  • 若 p<1p < 1 則 1−p>01 - p > 0，故 b1−p→∞b^{1-p} \to \infty：積分發散。

情形 p=1p = 1。 ∫1bx−1 dx=ln⁡b→∞\int_1^b x^{-1}\,dx = \ln b \to \infty：發散。

結論。

∫1∞x−p dx  =  1p−1(p>1),發散(p≤1).\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx \;=\; \frac{1}{p-1} \quad (p > 1), \qquad \text{發散} \quad (p \le 1).

這一族積分已可解釋為何調和級數發散而 ∑n−2\sum n^{-2} 收斂——積分判別法正好以這個閾值為關鍵。

第二類：被積函數無界

定義。 設 ff 在每個 [a,b−ε][a, b - \varepsilon]（ε∈(0,b−a)\varepsilon \in (0, b - a)）上均為黎曼可積，但在 bb 附近無界（或無定義）。定義

∫abf(x) dx  ≔  lim⁡ε→0+∫ab−εf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx.

若極限存在且有限，積分收斂；否則發散。

若 ff 在左端點 aa 處爆炸，則定義：

∫abf(x) dx  ≔  lim⁡ε→0+∫a+εbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

若奇異點在內部點 c∈(a,b)c \in (a, b)，則切分：

∫abf(x) dx  ≔  ∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx,\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx,

要求兩段均收斂。

計算範例：[0,1][0, 1] 上的 pp 積分

考慮 ∫01x−p dx\int_0^1 x^{-p}\,dx（p>0p > 0，奇異點在 x=0x = 0）。

情形 p≠1p \neq 1。 對 ε>0\varepsilon > 0，

∫ε1x−p dx=[x1−p1−p]ε1=1−ε1−p1−p.\int_\varepsilon^1 x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_\varepsilon^1 = \frac{1 - \varepsilon^{1-p}}{1-p}.

當 ε→0+\varepsilon \to 0^+ 時：

  • 若 p<1p < 1 則 1−p>01 - p > 0，故 ε1−p→0\varepsilon^{1-p} \to 0，極限為 11−p\dfrac{1}{1-p}。
  • 若 p>1p > 1 則 1−p<01 - p < 0，故 ε1−p→∞\varepsilon^{1-p} \to \infty：發散。

情形 p=1p = 1。 ∫ε1x−1 dx=−ln⁡ε→∞\int_\varepsilon^1 x^{-1}\,dx = -\ln \varepsilon \to \infty：發散。

結論。

∫01x−p dx  =  11−p(0<p<1),發散(p≥1).\int_0^1 x^{-p}\,dx \;=\; \frac{1}{1-p} \quad (0 < p < 1), \qquad \text{發散} \quad (p \ge 1).

注意與第一類結果的完全互補性：閾值從 p>1p > 1 翻轉為 p<1p < 1。

混合類型：兩類奇異性同時出現

有時一個積分既有無界的被積函數，又有無界的積分域。這時在方便的內部點切分，分別處理各段。例如，定義 ∫0∞x−p dx\int_0^\infty x^{-p}\,dx 時，寫成

∫0∞x−p dx=∫01x−p dx+∫1∞x−p dx.\int_0^\infty x^{-p}\,dx = \int_0^1 x^{-p}\,dx + \int_1^\infty x^{-p}\,dx.

第一段在 p<1p < 1 時收斂，第二段在 p>1p > 1 時收斂，但沒有任何 pp 能使兩段同時收斂——因此 ∫0∞x−p dx\int_0^\infty x^{-p}\,dx 對每個 pp 均發散。這是一個簡單但重要的情形：即便每一半分別有其良好的參數範圍，兩個範圍也可能不重疊。

Gamma 函數

分析中最重要的廣義積分是 Gamma 函數：

Γ(s)  ≔  ∫0∞e−xxs−1 dx,s>0.\Gamma(s) \;\coloneqq\; \int_0^{\infty} e^{-x} x^{s-1}\,dx, \quad s > 0.

這是混合類型積分：在 x=0x = 0 附近，因子 xs−1x^{s-1} 在 s<1s < 1 時可能爆炸，且上限為 ∞\infty。在 x=1x = 1 處切分後，兩段分別由上述估計與 e−xe^{-x} 的快速衰減來處理。

在 00 附近的收斂性。 對小 x>0x > 0，e−x≤1e^{-x} \le 1，故 e−xxs−1≤xs−1e^{-x} x^{s-1} \le x^{s-1}。由上述結果，∫01xs−1 dx\int_0^1 x^{s-1}\,dx 在 s>0s > 0 時收斂，故左段絕對收斂。

在 ∞\infty 處的收斂性。 對大 xx，指數衰減支配任意冪次：e−xxs−1≤Cse−x/2e^{-x} x^{s-1} \le C_s e^{-x/2}（CsC_s 是依賴 ss 的常數）。由於 ∫1∞e−x/2 dx\int_1^\infty e^{-x/2}\,dx 收斂，右段亦收斂。

函數方程

Gamma 函數滿足函數方程（functional equation）

Γ(s+1)=s Γ(s),s>0.\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s), \quad s > 0.

證明。 對 ∫0∞e−xxs dx\int_0^\infty e^{-x} x^s\,dx 進行分部積分，令 u=xsu = x^s，dv=e−x dxdv = e^{-x}\,dx：

Γ(s+1)=∫0∞e−xxs dx=[−e−xxs]0∞+s∫0∞e−xxs−1 dx.\Gamma(s+1) = \int_0^\infty e^{-x} x^s\,dx = \left[-e^{-x} x^s\right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1}\,dx.

邊界項消失：在 x=0x = 0 時 xs=0x^s = 0，在 x→∞x \to \infty 時指數衰減使 e−xxs→0e^{-x} x^s \to 0。剩餘的積分恰好是 Γ(s)\Gamma(s)，故得 Γ(s+1)=s Γ(s)\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)。□\square

初始值。 Γ(1)=∫0∞e−x dx=1\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1。由函數方程，Γ(2)=1⋅Γ(1)=1\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1，Γ(3)=2\Gamma(3) = 2，由歸納法得對每個非負整數 nn 均有 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!。Gamma 函數是階乘對正實數的唯一（在適當正則性意義下的）延拓。

摘要

  • 第一類廣義積分：∫a∞f≔lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f \coloneqq \lim_{b \to \infty} \int_a^b f。當極限存在且有限時收斂。
  • 第二類廣義積分：∫abf≔lim⁡ε→0+∫ab−εf\int_a^b f \coloneqq \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f（ff 在 bb 處爆炸）。在 aa 或內部點處爆炸的情形可類比定義。
  • pp 積分 ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx 收斂若且唯若 p>1p > 1，值為 1p−1\frac{1}{p-1}。
  • pp 積分 ∫01x−p dx\int_0^1 x^{-p}\,dx 收斂若且唯若 p<1p < 1，值為 11−p\frac{1}{1-p}。
  • 對雙向無限積分 ∫−∞∞f\int_{-\infty}^\infty f，兩個半段必須分別獨立收斂。
  • 混合類型積分切分為各段；收斂要求每段均收斂。
  • Gamma 函數 Γ(s)=∫0∞e−xxs−1 dx\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1}\,dx 對所有 s>0s > 0 均收斂，滿足 Γ(s+1)=s Γ(s)\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)，是階乘的延拓。