広義積分

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前提知識

定義したリーマン積分は領域と関数の両方が有界であることを要求する。それでも最も重要な積分 — 全確率、フーリエ変換、ラプラス変換、物理のポテンシャル井戸 — はほぼ常に、無限区間あるいはどこかで爆発する関数を含む。広義積分は、固有リーマン積分の極限に還元することで、両方の状況を厳密に扱う方法を与える。その極限が存在して有限のとき、積分は収束；そうでなければ発散する。

積分を拡張するなぜ？

いくつかの標準的な問題が必要性を明確にする。

全確率。 標準正規分布密度 12πe−x2/2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} はすべての R\mathbb{R} で定義されている。全確率が 1 に等しいことは

12π∫−∞∞e−x2/2 dx=1,\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = 1,

を意味し、非有界領域での積分を要求する。

フーリエ変換。 フーリエ変換 f^(ξ)=∫−∞∞f(x)e−2πiξx dx\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \xi x}\,dx は信号処理と PDE 理論の骨格である。これは R\mathbb{R} に住む。

べき特異性。 関数 x−1/2x^{-1/2} は (0,1](0, 1] で有界ではないが、その 0 から 1 までの積分は妥当なあらゆる計算で 2 に等しくあるべき。「妥当なあらゆる計算」を正確にすることは、まさにタイプ2の広義積分がすることである。

タイプ1：非有界区間

定義。 ff をすべての b>ab > a に対して [a,b][a, b] でリーマン積分可能とする。[a,∞)[a, \infty) 上の広義積分は

∫a∞f(x) dx  ≔  lim⁡b→∞∫abf(x) dx.\int_a^{\infty} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.

で定義される。

この極限が存在して有限なら、積分は収束する。そうでなければ発散する。

同様に、−∞-\infty に拡張する積分については：

∫−∞bf(x) dx  ≔  lim⁡a→−∞∫abf(x) dx.\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx.

二重無限積分については、便利な中間点 cc を選んで定義する

∫−∞∞f(x) dx  ≔  ∫−∞cf(x) dx  +  ∫c∞f(x) dx,\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\coloneqq\; \int_{-\infty}^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^{\infty} f(x)\,dx,

両方の半分が独立に収束することを要求する。（二つの極限を同時にとることを許すと、コーシー主値（weakerな概念）が得られ、ここでは使用しない。）

計算例：[1,∞)[1, \infty) 上の pp-積分

実パラメータ pp に対して ∫1∞x−p dx\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx を考えよう。

ケース p≠1p \neq 1。 b>1b > 1 については、

∫1bx−p dx=[x1−p1−p]1b=b1−p−11−p.\int_1^b x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b = \frac{b^{1-p} - 1}{1-p}.

b→∞b \to \infty のとき：

  • p>1p > 1 なら 1−p<01 - p < 0 で、b1−p→0b^{1-p} \to 0。極限は 0−11−p=1p−1\dfrac{0 - 1}{1-p} = \dfrac{1}{p-1}。
  • p<1p < 1 なら 1−p>01 - p > 0 で、b1−p→∞b^{1-p} \to \infty。積分は発散。

ケース p=1p = 1。 ∫1bx−1 dx=ln⁡b→∞\int_1^b x^{-1}\,dx = \ln b \to \infty：発散。

結論。

∫1∞x−p dx  =  1p−1(p>1),発散(p≤1).\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx \;=\; \frac{1}{p-1} \quad (p > 1), \qquad \text{発散} \quad (p \le 1).

この単一族は、調和級数がなぜ発散するのに ∑n−2\sum n^{-2} は収束するのかをすでに説明する — 積分テストはこの正確な閾値に結びつく。

タイプ2：非有界関数

定義。 ff がすべての ε∈(0,b−a)\varepsilon \in (0, b - a) に対して [a,b−ε][a, b - \varepsilon] でリーマン積分可能で、bb 付近で非有界（あるいは未定義）であると仮定する。定義は

∫abf(x) dx  ≔  lim⁡ε→0+∫ab−εf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx.

である。

極限が存在して有限なら積分は収束；そうでなければ発散する。

ff が左端点 aa で爆発する場合、代わりに

∫abf(x) dx  ≔  lim⁡ε→0+∫a+εbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

特異点が内部点 c∈(a,b)c \in (a, b) にあれば、分割する：

∫abf(x) dx  ≔  ∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx,\int_a^b f(x)\,dx \;\coloneqq\; \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx,

両部分の収束を要求する。

計算例：[0,1][0, 1] 上の pp-積分

p>0p > 0 に対して ∫01x−p dx\int_0^1 x^{-p}\,dx を考えよう。（特異点は x=0x = 0。）

ケース p≠1p \neq 1。 ε>0\varepsilon > 0 については、

∫ε1x−p dx=[x1−p1−p]ε1=1−ε1−p1−p.\int_\varepsilon^1 x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_\varepsilon^1 = \frac{1 - \varepsilon^{1-p}}{1-p}.

ε→0+\varepsilon \to 0^+ のとき：

  • p<1p < 1 なら 1−p>01 - p > 0 で、ε1−p→0\varepsilon^{1-p} \to 0。極限は 11−p\dfrac{1}{1-p}。
  • p>1p > 1 なら 1−p<01 - p < 0 で、ε1−p→∞\varepsilon^{1-p} \to \infty：発散。

ケース p=1p = 1。 ∫ε1x−1 dx=−ln⁡ε→∞\int_\varepsilon^1 x^{-1}\,dx = -\ln \varepsilon \to \infty：発散。

結論。

∫01x−p dx  =  11−p(0<p<1),発散(p≥1).\int_0^1 x^{-p}\,dx \;=\; \frac{1}{1-p} \quad (0 < p < 1), \qquad \text{発散} \quad (p \ge 1).

タイプ1の結果との完全な相補性に注意。閾値は p>1p > 1 から p<1p < 1 に反転している。

混合型：両特異点を同時に

時々、積分は非有界な被積分関数と非有界な領域を同時に持つ。その場合、便利な内部点で分割し、各部分を別に扱う。例えば、∫0∞x−p dx\int_0^\infty x^{-p}\,dx を定義するなら

∫0∞x−p dx=∫01x−p dx+∫1∞x−p dx.\int_0^\infty x^{-p}\,dx = \int_0^1 x^{-p}\,dx + \int_1^\infty x^{-p}\,dx.

と書く。

p<1p < 1 なら最初の部分が収束し、p>1p > 1 なら二番目の部分が収束するが、両部分を同時に収束させる pp はない — したがって ∫0∞x−p dx\int_0^\infty x^{-p}\,dx はすべての pp で発散する。これは単純だが重要なケース：各半分が良い体制を持つ場合でも、体制は重複しない場合がある。

ガンマ関数

解析学で最も重要な広義積分はガンマ関数である：

Γ(s)  ≔  ∫0∞e−xxs−1 dx,s>0.\Gamma(s) \;\coloneqq\; \int_0^{\infty} e^{-x} x^{s-1}\,dx, \quad s > 0.

これは混合型積分である。x=0x = 0 付近で因子 xs−1x^{s-1} は爆発するかもしれない（s<1s < 1 のとき），また上限は ∞\infty。x=1x = 1 で分割して、二つの部分は上の推定と e−xe^{-x} の急速な減衰により扱われる。

00 付近での収束。 小さい x>0x > 0 に対して、e−x≤1e^{-x} \le 1 だから e−xxs−1≤xs−1e^{-x} x^{s-1} \le x^{s-1}。∫01xs−1 dx\int_0^1 x^{s-1}\,dx は s>0s > 0 で収束することを示した。したがって左部分は絶対収束する。

∞\infty での収束。 大きい xx に対して、指数減衰はあらゆるべき関数を支配する。e−xxs−1≤Cse−x/2e^{-x} x^{s-1} \le C_s e^{-x/2} が ss に依存する定数 CsC_s に対して成り立つ。∫1∞e−x/2 dx\int_1^\infty e^{-x/2}\,dx が収束するから、右部分も収束する。

関数方程式

ガンマ関数は関数方程式を満たす

Γ(s+1)=s Γ(s),s>0.\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s), \quad s > 0.

証明。 ∫0∞e−xxs dx\int_0^\infty e^{-x} x^s\,dx を部分積分し、u=xsu = x^s と dv=e−x dxdv = e^{-x}\,dx とする：

Γ(s+1)=∫0∞e−xxs dx=[−e−xxs]0∞+s∫0∞e−xxs−1 dx.\Gamma(s+1) = \int_0^\infty e^{-x} x^s\,dx = \left[-e^{-x} x^s\right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1}\,dx.

境界項は消える。x=0x = 0 では xs=0x^s = 0，x→∞x \to \infty では指数減衰が e−xxs→0e^{-x} x^s \to 0 を強制する。残りの積分は正確に Γ(s)\Gamma(s) で、Γ(s+1)=s Γ(s)\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s) を与える。□\square

基本ケース。 Γ(1)=∫0∞e−x dx=1\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1。関数方程式により、Γ(2)=1⋅Γ(1)=1\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) = 1、Γ(3)=2\Gamma(3) = 2。帰納法により、すべての非負整数 nn に対して Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!。ガンマ関数は階乗の唯一の（適切に正則な）拡張である正数に。

まとめ

  • タイプ1広義積分：∫a∞f≔lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f \coloneqq \lim_{b \to \infty} \int_a^b f。極限が存在して有限のとき収束。
  • タイプ2広義積分：∫abf≔lim⁡ε→0+∫ab−εf\int_a^b f \coloneqq \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f （ff が bb で爆発）。aa または内部点での特異点は同様に定義される。
  • pp-積分 ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx は p>1p > 1 のときだけ収束し、値は 1p−1\frac{1}{p-1}。
  • pp-積分 ∫01x−p dx\int_0^1 x^{-p}\,dx は p<1p < 1 のときだけ収束し、値は 11−p\frac{1}{1-p}。
  • 二重無限積分 ∫−∞∞f\int_{-\infty}^\infty f については、両半分が独立に収束する必要がある。
  • 混合型積分は部分に分割される；収束はすべての部分の収束を要求する。
  • ガンマ関数 Γ(s)=∫0∞e−xxs−1 dx\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1}\,dx はすべての s>0s > 0 で収束し、Γ(s+1)=s Γ(s)\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s) を満たし、階乗を正数に拡張する。