積分に関する第二平均値定理

積分に関する第一平均値定理は、$f$ が $[a, b]$ で連続なら、$\int_a^b f = f(\xi)(b - a)$ となるある点 $\xi$ が存在することを述べる。しかし、積の $f(x) g(x)$ を積分したいが、$g$ は単調でもあるが、連続ではない場合はどうか？第二平均値定理 — このような形式ではボンネの定理として知られている — は正確にそのケースを扱う。$g$ を単一の数として因子分解する代わりに、それはスプリット公式を与える。積分は $g(a)$ 倍のある積分プラス $g(b)$ 倍のある積分に等しい。証明の背後にある考えは、アーベル和と、部分積分と自然に組み合わされた連続アナログである。

陳述：ボンネの形式

定理（積分に関する第二平均値定理）。 $g$ を $[a, b]$ で単調減少とし、$f$ を $[a, b]$ でリーマン積分可能とする。そうするとある $\xi \in [a, b]$ が存在して

$$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;=\; g(a) \int_a^\xi f(x)\,dx \;+\; g(b) \int_\xi^b f(x)\,dx.$$

が成り立つ。

単調増加 $g$ に対する陳述は $g$ を $-g$ で置き換えることで従う。

動機：離散類似（アーベル和）

連続定理を証明する前に、離散版（アーベル和 — またはアーベルの和公式とも呼ばれている）を見るのは有用である。部分和 $A_k = \sum_{j=1}^k a_j$ を持つ数列 $(a_k)$ と $(b_k)$ を与えて、一つは

$$\sum_{k=1}^n a_k b_k \;=\; A_n b_n \;-\; \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_{k+1} - b_k).$$

を持つ。

これは部分積分の離散アナログである。$a_k$ 数列を実行総計 $A_k$ に「積分」し、次に $b_k$ 数列を差分に「微分」する。$b_k$ が減少するなら、差分 $b_{k+1} - b_k \le 0$ は定された符号を持つ。これにより、$A_k$ の極値で和を制限できる。正確に同じ構造が連続の設定で機能する。

証明

ステップ1：部分積分。 $G(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt$ を定義する。$a$ で始まる $f$ の原始関数。部分積分は

$$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = \int_a^b G'(x)\,g(x)\,dx = \bigl[G(x)\,g(x)\bigr]_a^b - \int_a^b G(x)\,g'(x)\,dx.$$

を与える。

$G(a) = 0$ であるから、境界項は $G(b)\,g(b)$ に簡約される。$G(b) = \int_a^b f$ と書くと：

$$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = g(b)\int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b G(x)\,g'(x)\,dx. \tag{$*$}$$

ステップ2：$-\int G\,g'$ に第一平均値定理を適用。 $g$ が減少して微分可能だから（今のところ仮定），$g'(x) \le 0$。したがって $-g'(x) \ge 0$。関数 $-g'$ は非負の積分可能な加重である。積分に関する平均値定理の加重形式から，そこに書かれているように，ある $\xi \in [a, b]$ が存在して

$$-\int_a^b G(x)\,g'(x)\,dx = G(\xi) \cdot \left(-\int_a^b g'(x)\,dx\right) = G(\xi)\,\bigl(g(a) - g(b)\bigr).$$

ステップ3：集める。 $(*)$ に戻すと：

$$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = g(b)\int_a^b f(x)\,dx + G(\xi)\,\bigl(g(a) - g(b)\bigr).$$

$\int_a^b f = \int_a^\xi f + \int_\xi^b f$ と $G(\xi) = \int_a^\xi f$ を使って書き直すと：

$$= g(b)\left(\int_a^\xi f + \int_\xi^b f\right) + \int_a^\xi f\,(g(a) - g(b)) = g(a)\int_a^\xi f(x)\,dx + g(b)\int_\xi^b f(x)\,dx. \quad \square$$

注記。 上の証明は $g$ が微分可能であると仮定した。単に単調な $g$ の場合，議論はリーマン—スティルチェス部分積分または滑らかな単調関数による $g$ の近似により完成される；結論は同じである。

特別ケース：非負な減少加重

$g \ge 0$ が減少すると，$g(b) \ge 0$，そして公式は簡約される。スプリット公式が成り立ち，$g(b) \ge 0$ であるから，実はゲーム制限ケースで $g(b) = 0$ を取ることができる。より直接的には，$g \ge 0$ が減少することだけ知っているとき，陳述できる：

系。 $g \ge 0$ が $[a, b]$ で減少し，$f$ が積分可能なら，ある $\xi \in [a, b]$ が存在して

$$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;=\; g(a)\int_a^\xi f(x)\,dx.$$

証明。 フルのボンネ公式では，$g(b) \ge 0$ で $\int_\xi^b f$ が有界。$g(b) = 0$ のとき，二番目の項は消える。一般な非負減少ケースについて，証明は $h = g - g(b) \ge 0$ （$h(b) = 0$ を持つ）にボンネを適用して得られて，$g(b)\int_a^b f$ 残りを吸収。$\square$

この系は時々、テキストが第二平均値定理と呼ぶもの；ボンネの形式は $g(b)$ 項を保持する鋭い版。

応用：$\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$ の収束

積分 $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$ は絶対収束ではない（広義積分の収束チェックポイントで示す），しかし収束する。ボンネの定理は重要な道具。

主張。 すべての $1 \le A < B$ に対して，

$$\left|\int_A^B \frac{\sin x}{x}\,dx\right| \;\le\; \frac{4}{A}.$$

証明。 $[A, B]$ 上で $f(x) = \sin x$ と $g(x) = 1/x$ （正で減少）でボンネの定理を適用。そこでとある $\xi \in [A, B]$ が存在して

$$\int_A^B \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{1}{A}\int_A^\xi \sin x\,dx + \frac{1}{B}\int_\xi^B \sin x\,dx.$$

が成り立つ。

任意の区間 $[u, v]$ に対して，$|\int_u^v \sin x\,dx| = |\cos u - \cos v| \le 2$。したがって

$$\left|\int_A^B \frac{\sin x}{x}\,dx\right| \;\le\; \frac{1}{A} \cdot 2 + \frac{1}{B} \cdot 2 \;\le\; \frac{2}{A} + \frac{2}{A} = \frac{4}{A}.$$

右側が 0 に向かうから（$A \to \infty$），コーシー判定法（次のチェックポイントで展開）は収束を確認する。$\square$

これは原型的な議論である。$g$ が単調に 0 に向かい「振動部分」$f$ が有界原始関数を持つときはいつでも，ボンネは重要な推定を供給する。

まとめ

• **第二平均値定理（ボンネの形式）**は述べている。$g$ が $[a, b]$ で単調減少で $f$ が積分可能なら，ある $\xi \in [a, b]$ が存在して $\int_a^b fg = g(a)\int_a^\xi f + g(b)\int_\xi^b f$。
• 証明は $\int fg$ を部分積分し，$F(x) = \int_a^x f$ と書いて，次に結果の積分 $-\int F g'$ （加重が非負 $-g' \ge 0$）に第一平均値定理を適用。
• $g \ge 0$ が減少するなら，公式は簡約されて $\int_a^b fg = g(a)\int_a^\xi f$ がある $\xi$。
• ボンネの定理は，$\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$ のような振動積分の収束を証明する重要な成分。絶対収束は失敗するが単調減衰が振動を調整する。