部分積分

多くの積分では二つの関数の積が見られる — 例えば $x e^x$、$x \ln x$、または $x^2 \sin x$ である。置換は、チェーンルール構造を利用できないため、役に立たない。部分積分は、積に対応する技術である。一つの因子と他の因子の導関数の積の積分を、境界項と（うまくいけば）より簡単な積分に変える。公式は積の法則を逆向きに読んで積分したものに過ぎない。

積の法則からの導出

$u$ と $v$ を $[a, b]$ で微分可能とし、それらの導関数 $u'$ と $v'$ が連続とする。積の法則は

$$(u(x)\,v(x))' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).$$

を与える。

項 $u(x)\,v'(x)$ を隔離するために整理する：

$$u(x)\,v'(x) = (u(x)\,v(x))' - u'(x)\,v(x).$$

両辺を $[a, b]$ 上で積分して、右辺にニュートン—ライプニッツの公式を適用する：

$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.$$

これが定義積分に関する部分積分の公式である。

不定積分形式と微分記号法

不定積分の場合、限度を削除する。$du = u'(x)\,dx$ と $dv = v'(x)\,dx$ と書くと、公式は

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$

となる。

この微分記号法は最も簡潔な形式で、実際に使うのはこの形である。戦略は、被積分関数を二つの部分に分割する。一つは $u$（微分される）と呼び、一つは $dv$（積分される）と呼ぶ。分割を選んだ後、$du = u'\,dx$ を計算し、$dv$ を積分することで $v$ を見つけ、公式に差し込む。

$u$ と $dv$ を選ぶ：LIATE ヒューリスティック

どの因子を $u$ と呼ぶかの選択は、得られた積分 $\int v\,du$ がより簡単かより難しいかを決定する。有用な非公式なガイドはLIATE 順序である：

1. Logarithms（対数）（例 $\ln x$、$\log_a x$）
2. Inverse trigonometric（逆三角関数）（例 $\arctan x$、$\arcsin x$）
3. Algebraic（代数的）（多項式、べき）
4. Trigonometric（三角関数）（例 $\sin x$、$\cos x$）
5. Exponentials（指数関数）（例 $e^x$、$a^x$）

どの関数がこのリストでより早く表れるかに応じて、$u$ を割り当てることが好ましく、$dv$ をより遅く表れるものに割り当てるべきである。理由は、対数や逆三角関数の微分は劇的に単純化される（$\ln x$ を $1/x$ に変える）。一方、指数関数や三角関数の積分は複雑さを増加させない。このヒューリスティックは定理ではない — 結果の積分が実際にはより簡単であることを常に確認すべきである — が、標準的なケースの大多数で正しい答えを与える。

計算例

例1：$\int x e^x\,dx$

LIATE により、$x$（代数的）は $e^x$（指数）より前に来るので、

$$u = x, \qquad dv = e^x\,dx.$$

と設定する。

次に $du = dx$ と $v = e^x$。公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ を適用すると：

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C.$$

微分することで検証できる。$\bigl((x-1)e^x\bigr)' = e^x + (x-1)e^x = x e^x$。$\checkmark$

例2：$\int \ln x\,dx$

ここに唯一の因子があるが、$\ln x = \ln x \cdot 1$ と書くことで依然として部分積分を使うことができる。

$$u = \ln x, \qquad dv = dx.$$

と設定する。

次に $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ と $v = x$。公式を適用すると：

$$\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - \int 1\,dx = x \ln x - x + C.$$

これは対数を含む積分の重要なトリックである。$u = \ln x$ を割り当てることで、微分が対数を完全に除去できる。

例3：$\int x^2 e^x\,dx$ — 反復適用

代数的因子の次数が 1 より大きい場合、部分積分を繰り返し適用する。$u = x^2$、$dv = e^x\,dx$ と設定するから、$du = 2x\,dx$ と $v = e^x$：

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx.$$

残りの積分 $\int x e^x\,dx$ は正確に例1であるから、

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C.$$

例4：$\int e^x \sin x\,dx$ — 自己参照トリック

$e^x$ も $\sin x$ も微分したり積分したりするとき単純化しないから、部分積分の反復適用は永遠に循環するように見える。この循環性は実は解決法である。

$$u = e^x, \qquad dv = \sin x\,dx,$$

と設定するから、$du = e^x\,dx$ と $v = -\cos x$：

$$\int e^x \sin x\,dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x\,dx. \tag{1}$$

$\int e^x \cos x\,dx$ に部分積分をもう一度適用する。$u = e^x$ と $dv = \cos x\,dx$ とするから、$v = \sin x$：

$$\int e^x \cos x\,dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x\,dx. \tag{2}$$

(2) を (1) に代入すると：

$$\int e^x \sin x\,dx = -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x\,dx.$$

元の積分は両辺に表れる。$I$ と表記してそれを解く：

$$2I = e^x(\sin x - \cos x), \qquad \therefore\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C.$$

重要なルールは、各ステップで同じ選択を $u$ としての因子についてすることである。二番目のステップで選択を切り替えると、最初を元に戻す。

$I_n = \int x^n e^x\,dx$ に関する削減公式

例3の反復適用パターンは任意のべき $n \geq 1$ に一般化する。$u = x^n$ と $dv = e^x\,dx$ と設定する：

$$\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - n \int x^{n-1} e^x\,dx.$$

$I_n = \int x^n e^x\,dx$ と記すと、これは削減公式

$$I_n = x^n e^x - n\, I_{n-1}.$$

である。

基本ケース $I_0 = \int e^x\,dx = e^x + C$ と組み合わせ、この再帰は任意の非負整数 $n$ に対して $I_n$ を計算する。$n = 1, 2$ に対して適用すると：

$$I_1 = x e^x - I_0 = (x - 1)e^x + C,$$ $$I_2 = x^2 e^x - 2 I_1 = x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C,$$

これは例3の直接計算と一致する。

まとめ

• 部分積分は積の法則の積分版である：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$、または定義形式 $\int_a^b u\,v'\,dx = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$。
• 公式は、積の法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を整理してニュートン—ライプニッツの公式を適用することで導出される。
• LIATE ヒューリスティック（対数、逆三角関数、代数的、三角関数、指数）は $u$ の選択を導く。このリストの中で因子が早く表れるほど、それが $u$ に割り当てられるべき。
• 対数と逆三角関数は常に $u$ として選ばれ、微分がそれらを除去する。
• 代数的因子が次数 $n$ を持つとき、反復適用は削減公式 $I_n = x^n e^x - n\,I_{n-1}$ を生み出す。
• 二つの非単純化因子が存在するとき（例 $e^x$ と $\sin x$）、$u$ の選択を一貫して二度部分積分を適用すると、元の積分に関する方程式を生み出して代数的に解くことができる。