ニュートン—ライプニッツの公式

ニュートン—ライプニッツの公式が理解される前は、定義積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ を計算することは、リーマン和を形成して極限を取り、その極限が何に等しいかを見つけることを意味した — 新しい被積分関数ごとに最初から実行されるプロセス。公式（微積分の基本定理とも呼ばれる）は、すべてをカットして通す。積分と微分は逆演算であると述べている。したがって $\int_a^b f(x)\,dx$ を評価するには、導関数が $f$ である関数を見つけ、端点での値を引くだけでいい。この単一の観察は、極限議論のページを一行の計算に変換する。

定理は論理的に異なる二つの部分を持つ。最初の部分は、変数上限の積分それ自体が微分可能であることを示す。二番目の部分は、任意の原始関数を使って積分を評価する方法を示す。一緒に、初等微積分の最も深い結果を形成する。

第1部：変数上限の積分は原始関数である

$f$ を $[a, b]$ 上で連続とする。$f$ は連続であるから、すべての部分区間で積分可能であり、

$$F(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt, \qquad x \in [a, b],$$

は定義されている。$F$ を変数上限の積分と呼び、$F$ は $[a, b]$ のすべての点で微分可能で $F'(x) = f(x)$ であるという主張である。

第1部の証明

$x \in (a, b)$ を固定し、$x + h \in [a, b]$ となるように小さい $h \neq 0$ をとる。積分の加法性により、

$$F(x + h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt.$$

$h$ で割ると差分商が得られる

$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt.$$

$f$ は $x$ と $x+h$ の間の区間上で連続であるから、積分に関する平均値定理はある点 $\xi_h$ が $x$ と $x + h$ の間に存在することを保証して

$$\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(\xi_h)\cdot h.$$

戻すと、

$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(\xi_h).$$

$h \to 0$ のとき、点 $\xi_h$ は $x$ と $x + h$ の間に押し込まれるから、$\xi_h \to x$。$f$ の連続性により、

$$f(\xi_h) \to f(x).$$

したがって差分商は $f(x)$ に収束し、これは微分可能性の定義そのものである：

$$F'(x) = f(x). \qquad \square$$

同じ議論は片側極限を使って端点 $a$ と $b$ に適用される。第1部は、すべての連続関数が原始関数を持ち、変数上限の積分がその原始関数の例を明示することを述べる。

第2部：任意の原始関数を使って定義積分を評価する

第2部はニュートン—ライプニッツの公式では、$G$ が $[a, b]$ 上 $f$ の任意の原始関数 — つまり、すべての $x \in [a, b]$ で $G'(x) = f(x)$ — なら

$$\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a).$$

が成り立つと述べる。

第2部の証明

第1部から、$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ が $f$ の原始関数であることを既に知っている。$G$ も $f$ の原始関数であるから、差 $G - F$ は

$$(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$

をすべての $x \in [a, b]$ で満たす。原始関数は定数だけ異なる定理（ラグランジュの平均値定理から従う）により、区間上で導関数がゼロの関数は定数である。したがってある $C \in \mathbb{R}$ が存在して

$$G(x) = F(x) + C \quad \text{すべての } x \in [a, b] \text{に対して}.$$

両方の端点で評価する。$x = a$ で：

$$G(a) = F(a) + C = \int_a^a f(t)\,dt + C = 0 + C = C.$$

$x = b$ で：

$$G(b) = F(b) + C = \int_a^b f(t)\,dt + C.$$

最初の方程式を二番目から引く：

$$G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. \qquad \square$$

括弧記号

次のように書くのが標準である

$$\bigl[G(x)\bigr]_a^b \coloneqq G(b) - G(a).$$

この記号は簡潔で、符号の誤りの危険性を軽減する。ニュートン—ライプニッツの公式は、

$$\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[G(x)\bigr]_a^b,$$

ここで $G$ は $f$ の任意の原始関数である。$G$ に任意の定数を足すことは、結果に影響しない。定数が $G(b) - G(a)$ で相殺されるからである。これが原始関数の選択が重要でない理由である。

計算例

例1：$\int_0^1 x^2\,dx$

$f(x) = x^2$ の原始関数は $G(x) = \dfrac{x^3}{3}$ である。ニュートン—ライプニッツを適用すると：

$$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.$$

例2：$\int_0^\pi \sin x\,dx$

$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ である。したがって

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.$$

幾何学的には、$x$ 軸より上の正弦曲線の一つのアーチの面積である結果 2 は、満足できるサニティチェックである。

例3：$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$

$(0, \infty)$ 上で $\dfrac{1}{x}$ の原始関数は $\ln x$ である。したがって

$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.$$

これは $e$ の幾何学的意味を確認する。これは正確に、$y = 1/x$ の下の面積が 1 から $e$ まで 1 に等しい数である。

まとめ

• 第1部（FTC1）：$f$ が $[a, b]$ で連続なら、$F(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt$ は微分可能で $F'(x) = f(x)$。特に、すべての連続関数は原始関数を持つ。
• 第2部（FTC2）：$G$ が $[a, b]$ 上 $f$ の任意の原始関数なら、$\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) = \bigl[G(x)\bigr]_a^b$。
• 第1部の証明は、積分に関する平均値定理を使って差分商の極限を $f(x)$ と特定する。
• 第2部の証明は、同一の関数の二つの原始関数は定数だけ異なるという事実を使い（原始関数チェックポイントから）、次に $x = a$ で評価することでその定数を見つける。
• 括弧記号 $\bigl[G(x)\bigr]_a^b = G(b) - G(a)$ は、評価ステップの簡潔な速記である。
• この公式は、最初に分離不可能に見えた二つの問題を完全に分離する。領域を計算する（定義積分）と不定積分を見つける（原始関数）。積分するには、逆向きに微分するだけでいい。