ラグランジュの平均値定理

2時間で120 km走行したとする。平均速度は60 km/hだ。走行中のある瞬間、速度計はちょうど60 km/hを示していたはずだ。ラグランジュの平均値定理（mean value theorem）は、この事実を任意の微分可能関数に対して述べたものだ。

定理の主張

定理（平均値定理／ラグランジュの有限増分定理）。 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ とする。

1. $f$ が $[a, b]$ 上で連続、かつ
2. $f$ が $(a, b)$ 上で微分可能

ならば、

$$f(b) - f(a) \;=\; f'(c)\,(b - a) \tag{1}$$

を満たす $c \in (a, b)$ が存在する。

証明

発想は、$f$ から $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ割線のグラフを表す一次関数を引くことで、ロルの定理が適用できる問題に帰着させることだ。

補助関数を

$$g(x) \;\coloneqq\; f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)$$

と定義する。すると：

• $g$ は $[a, b]$ 上で連続かつ $(a, b)$ 上で微分可能（$f$ から引き継ぐ）。
• $g(a) = 0$ かつ $g(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a)) = 0$。

ロルの定理より、$g'(c) = 0$ を満たす $c \in (a, b)$ が存在する。計算すると：

$$g'(x) \;=\; f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

よって $g'(c) = 0$ から $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ が得られ、これは $(1)$ に他ならない。$\square$

幾何学的意味

$(1)$ の右辺は $(a, f(a))$ と $(b, f(b)$ を結ぶ割線の傾きだ。定理は、ある内点における接線がその割線と平行であることを主張する。すなわち、瞬間的な変化率がある点で平均的な変化率に等しくなる。

系

定数関数

系。 $f'(x) = 0$ がすべての $x \in (a, b)$ で成り立つならば、$f$ は $[a, b]$ 上で定数だ。

証明。 任意の $x \in [a, b]$ に対し、$[a, x]$ に平均値定理を適用すると $f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) = 0$、よって $f(x) = f(a)$。$\square$

単調関数

系。 $f'(x) > 0$ がすべての $x \in (a, b)$ で成り立つならば、$f$ は $[a, b]$ 上で狭義単調増加だ。

証明。 $a \leq x_1 < x_2 \leq b$ に対し、$[x_1, x_2]$ に平均値定理を適用すると $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) > 0$。$\square$

$f' < 0$ の場合は狭義単調減少が得られる。$f' \geq 0$（または $\leq 0$）の場合は広義の単調性が得られる。

リプシッツ評価

系。 $|f'(x)| \leq M$ がすべての $x \in (a, b)$ で成り立つならば、すべての $x_1, x_2 \in [a, b]$ に対して $|f(x_2) - f(x_1)| \leq M|x_2 - x_1|$ が成り立つ。

これは定数 $M$ の**リプシッツ条件（Lipschitz condition）**であり、近似誤差の評価に広く用いられる。

まとめ

• 平均値定理：$f$ が $[a,b]$ 上で連続かつ $(a,b)$ 上で微分可能ならば、ある $c \in (a,b)$ に対して $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ が成り立つ。
• 証明：$g(x) = f(x) - \text{（割線）}$ にロルの定理を適用する。
• 系：導関数がゼロ → 定数；正の導関数 → 狭義単調増加；有界な導関数 → リプシッツ。
• この定理は大域的な変化 $f(b)-f(a)$ を局所的な量 $f'(c)$ に結びつけ、微分可能関数の性質を証明するための主要な道具だ。