拉格朗日均值定理

兩小時行駛 120 公里，平均速度為 60 公里/小時。在行程的某個瞬間，速度表的讀數必定恰好是 60 公里/小時。拉格朗日有限增量定理（Lagrange’s finite-increment theorem）就是這一事實對任意可微函式的數學表述。

定理陳述

定理（均值定理 / 拉格朗日有限增量定理）。 設 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$。若

1. $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，且
2. $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，

則存在 $c \in (a, b)$ 使得

$$f(b) - f(a) \;=\; f'(c)\,(b - a). \tag{1}$$

證明

核心思想是：從 $f$ 中減去過 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割線所對應的線性函式，將問題化為可套用羅爾定理的形式。

定義輔助函式

$$g(x) \;\coloneqq\; f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a).$$

則：

• $g$ 在 $[a, b]$ 上連續，在 $(a, b)$ 上可微（由 $f$ 的性質繼承）。
• $g(a) = 0$，$g(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a)) = 0$。

由羅爾定理，存在 $c \in (a, b)$ 使得 $g'(c) = 0$。計算：

$$g'(x) \;=\; f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

因此 $g'(c) = 0$ 給出 $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即 $(1)$。$\square$

幾何意義

$(1)$ 右端是過 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割線斜率。定理指出，在某個內部點，切線平行於該割線。換句話說，瞬時變化率在某點等於平均變化率。

推論

常數函式

推論。 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) = 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上為常數。

證明。 對任意 $x \in [a, b]$，在 $[a, x]$ 上套用均值定理：$f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) = 0$，故 $f(x) = f(a)$。$\square$

單調函式

推論。 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) > 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上嚴格遞增。

證明。 對 $a \leq x_1 < x_2 \leq b$，在 $[x_1, x_2]$ 上套用均值定理：$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) > 0$。$\square$

$f' < 0$ 的情形類似，得出嚴格遞減；$f' \geq 0$（或 $\leq 0$）則得出非嚴格的單調性。

Lipschitz 界

推論。 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $|f'(x)| \leq M$，則對所有 $x_1, x_2 \in [a, b]$，$|f(x_2) - f(x_1)| \leq M|x_2 - x_1|$。

這就是常數為 $M$ 的 Lipschitz 條件，廣泛用於控制近似誤差。

摘要

• 均值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續、在 $(a,b)$ 上可微，則 $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ 對某個 $c \in (a,b)$ 成立。
• 證明：對 $g(x) = f(x) - \text{（割線）}$ 套用羅爾定理。
• 推論：導數為零 → 常數；正導數 → 嚴格遞增；有界導數 → Lipschitz。
• 定理將全域變化量 $f(b)-f(a)$ 與局部量 $f'(c)$ 相聯繫，是證明可微函式性質的核心工具。