單調性判別法

若汽車的速度表在整段行程中始終為正，則汽車向前行駛；若始終為負，則倒退。單調性判別法就是將這一觀察套用於任意可微函式：$f'$ 的符號告訴你 $f$ 在某區間上是遞增、遞減還是保持不變。

定理

定理（單調性判別法）。 設 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，在 $(a, b)$ 上可微。

1. 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) > 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上嚴格遞增。
2. 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) < 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上嚴格遞減。
3. 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) = 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上為常數。
4. 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) \geq 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上非遞減。
5. 若對所有 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) \leq 0$，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上非遞增。

證明

五種情形均由同一論證得出。取 $a \leq x_1 < x_2 \leq b$。由均值定理，存在 $c \in (x_1, x_2)$ 使得

$$f(x_2) - f(x_1) \;=\; f'(c)\,(x_2 - x_1).$$

因 $x_2 - x_1 > 0$，$f(x_2) - f(x_1)$ 的符號與 $f'(c)$ 的符號相同：

• $f'(c) > 0 \;\Rightarrow\; f(x_2) > f(x_1)$（情形 1）。
• $f'(c) < 0 \;\Rightarrow\; f(x_2) < f(x_1)$（情形 2）。
• $f'(c) = 0 \;\Rightarrow\; f(x_2) = f(x_1)$（情形 3）。

情形 4 和 5 以非嚴格不等式同理可得。$\square$

逆命題方向

定理的逆不是乾淨的。$f$ 可以嚴格遞增，而 $f'$ 在孤立點消失。

例。 $f(x) = x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上：$f'(0) = 0$，但 $f$ 在各處嚴格遞增。任意 $x_1 < x_2$ 直接給出 $x_1^3 < x_2^3$。

正確的逆命題是：若 $f$ 在 $(a, b)$ 上非遞減且可微，則 $f'(x) \geq 0$——在某些點允許等號成立。

求單調區間

在實際應用中，判別法的使用步驟如下。給定在開區間上可微的 $f$：

1. 解 $f'(x) = 0$，並找出 $f'$ 無定義的點。
2. 這些點將定義域分割成若干開區間。
3. 在每個區間上，取一個樣本點，檢查 $f'$ 的符號。
4. 套用定理，得出遞增或遞減的結論。

例。 $f(x) = x^3 - 3x$。

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).$$

$f'$ 在 $x = \pm 1$ 消失，分出三個區間：

區間	$f'$ 的符號	$f$ 的行為
$(-\infty, -1)$	$+$	嚴格遞增
$(-1, 1)$	$-$	嚴格遞減
$(1, \infty)$	$+$	嚴格遞增

嚴格單調性與可逆性

在 $[a, b]$ 上嚴格單調的函式是單射：$x_1 \neq x_2$ 蘊含 $f(x_1) \neq f(x_2)$。結合連續性，它將 $[a, b]$ 雙射地映到區間 $[f(a), f(b)]$（或遞減時為 $[f(b), f(a)]$），且其反函式同樣連續且嚴格單調。

這是「嚴格遞增函式有反函式」這一論斷的嚴格內容。當你在分析學中遇到反函式時，幾乎都是因為原函式在相關定義域上滿足了單調性判別法的條件。

摘要

• 在 $(a, b)$ 上正導數蘊含 $f$ 在 $[a, b]$ 上嚴格遞增；負導數蘊含嚴格遞減；零導數蘊含常數。
• 證明：對任意一對 $x_1 < x_2$ 套用均值定理；$f(x_2) - f(x_1)$ 的符號與 $f'(c)$ 的符號相同。
• 逆命題較弱：嚴格單調性允許 $f'$ 在孤立點消失。
• 求單調區間：解 $f' = 0$，分割定義域，在每段上檢查 $f'$ 的符號。
• 嚴格單調的連續函式是到值域的雙射，且有連續的單調反函式。