泰勒公式（Taylor's Formula）

均值定理指出 $f(x) = f(x_0) + f'(c)(x - x_0)$，其中 $c$ 是介於 $x$ 和 $x_0$ 之間某個未知的點。這是一個帶有不精確餘項的線性近似。泰勒公式將此思想推廣到任意階：以 $n$ 次多項式近似 $f$，並明確表達剩餘誤差。

泰勒多項式

定義。 $f$ 在 $x_0$ 處的 $n$ 次泰勒多項式為

$$P_n(x) \;\coloneqq\; \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x - x_0)^k = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$

係數 $\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ 是使得 $P_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)$（$k = 0, 1, \ldots, n$）成立的唯一取值：多項式在 $x_0$ 處與 $f$ 及其各階導數（至 $n$ 階）完全吻合。

帶拉格朗日餘項的泰勒公式

定理（泰勒公式）。 設 $f$ 在包含 $x_0$ 和 $x$ 的某開區間上 $(n+1)$ 次可微。則

$$f(x) \;=\; P_n(x) \;+\; R_n(x), \tag{1}$$

其中**拉格朗日餘項（Lagrange remainder）**為

$$R_n(x) \;=\; \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - x_0)^{n+1} \tag{2}$$

對某個嚴格介於 $x_0$ 和 $x$ 之間的 $\xi$ 成立。

證明

固定 $x \neq x_0$，設 $J$ 為以 $x_0$ 和 $x$ 為端點的閉區間。定義

$$F(t) \;\coloneqq\; f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k, \qquad G(t) \;\coloneqq\; (x - t)^{n+1}.$$

兩者在 $J$ 上連續，在 $J$ 的內部可微。注意：

• $F(x) = 0$，$G(x) = 0$。
• $F(x_0) = f(x) - P_n(x)$，$G(x_0) = (x - x_0)^{n+1} \neq 0$。

$F$ 的導數的伸縮。 利用乘積法則對每一項 $\tfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ 求導：

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right] = \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k \;-\; \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}.$$

對 $k = 0$ 到 $n$ 求和，求和式伸縮——每一項 $\tfrac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}$ 與第一部分中 $k \mapsto k-1$ 的項相消——只剩 $k = n$ 項的第一個被加數：

$$F'(t) \;=\; -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n, \qquad G'(t) \;=\; -(n+1)(x-t)^n.$$

套用羅爾定理。 構造輔助函式

$$\phi(t) \;\coloneqq\; F(t) - \frac{F(x_0)}{G(x_0)}\,G(t).$$

則 $\phi(x_0) = 0$，$\phi(x) = F(x) - \tfrac{F(x_0)}{G(x_0)} \cdot 0 = 0$。由羅爾定理，存在嚴格介於 $x_0$ 和 $x$ 之間的 $\xi$ 使得 $\phi'(\xi) = 0$：

$$F'(\xi) - \frac{F(x_0)}{G(x_0)}\,G'(\xi) = 0.$$

因 $\xi \neq x$，$(x - \xi)^n \neq 0$，代入 $F'$ 和 $G'$：

$$-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n + \frac{F(x_0)}{G(x_0)}(n+1)(x-\xi)^n = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{F(x_0)}{G(x_0)} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.$$

兩端乘以 $G(x_0) = (x-x_0)^{n+1}$，得 $F(x_0) = R_n(x)$，即 $(2)$ 中的形式。$\square$

標準麥克勞林展開

當 $x_0 = 0$ 時，公式稱為麥克勞林展開（Maclaurin expansion）。下列等式對所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立（令 $n \to \infty$ 並驗證 $R_n \to 0$）：

$$e^x \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \;=\; 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \;=\; x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$ $$\cos x \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \;=\; 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$$ $$\ln(1+x) \;=\; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k \;=\; x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 < x \leq 1)$$ $$(1+x)^\alpha \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k \;=\; 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \quad (|x| < 1)$$

其中廣義二項式係數為 $\binom{\alpha}{k} \coloneqq \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$。

利用餘項估計誤差

拉格朗日形式 $(2)$ 給出具體的誤差界。若對所有介於 $x_0$ 和 $x$ 之間的 $t$ 均有 $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$，則

$$|R_n(x)| \;\leq\; \frac{M}{(n+1)!}\,|x - x_0|^{n+1}.$$

例。 以 $x_0 = 0$ 處的 $P_3$ 近似 $e^{0.1}$：

$$P_3(0.1) \;=\; 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} \;\approx\; 1.10516\overline{6}.$$

餘項滿足 $|R_3(0.1)| \leq \dfrac{e^{0.1}}{4!}(0.1)^4 < \dfrac{3}{24} \cdot 10^{-4} \approx 1.25 \times 10^{-5}$。近似精確到小數點後五位。

計算極限

泰勒公式使未定式極限的計算變得系統化。計算 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$，展開 $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^5)$：

$$\frac{\sin x - x}{x^3} \;=\; \frac{-x^3/6 + O(x^5)}{x^3} \;\to\; -\frac{1}{6}.$$

摘要

• 泰勒多項式 $P_n$ 是 $f$ 在 $x_0$ 處的 $n$ 次近似，在 $x_0$ 處與 $f$ 及其各階導數（至 $n$ 階）完全吻合。
• 泰勒公式：$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$，其中拉格朗日餘項 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$ 介於 $x_0$ 和 $x$ 之間。
• 證明思路：定義一個在 $x_0$ 處取值等於餘項的輔助函式；套用柯西均值定理，消去各階導數項，只留最高階項。
• 拉格朗日餘項給出界 $|R_n(x)| \leq \dfrac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$（在 $|f^{(n+1)}| \leq M$ 時成立）。
• $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$ 和 $(1+x)^\alpha$ 的標準冪級數均由令 $n \to \infty$ 得出。