羅爾定理（Rolle's Theorem）

將球垂直拋起。無論它的起點和終點高度為何，只要它返回相同高度，在此過程的某個瞬間，速度必定為零。羅爾定理（Rolle’s theorem）就是這一觀察的數學表述。

定理陳述

羅爾定理。 設 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$。若

1. $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，
2. $f$ 在開區間 $(a, b)$ 上可微，且
3. $f(a) = f(b)$，

則存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f'(c) = 0$。

證明

由極值定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上同時取到最大值 $M$ 與最小值 $m$。

情形 1：$M = m$。 函式在 $[a, b]$ 上為常數，故對每個 $x \in (a, b)$ 均有 $f'(x) = 0$。任取 $c \in (a, b)$ 即可。

情形 2：$M > m$。 至少有一個極值與 $f(a) = f(b)$ 不同。不妨設 $M > f(a)$（$m < f(a)$ 的情形對稱）。最大值 $M$ 在某個 $x_{\max} \in [a, b]$ 處取到。由於 $f(x_{\max}) = M > f(a) = f(b)$，$x_{\max}$ 不可能是端點，故 $x_{\max} \in (a, b)$——即一個內部局部極大。由費馬引理，$f'(x_{\max}) = 0$。令 $c \coloneqq x_{\max}$。$\square$

幾何意義

羅爾定理保證：在兩個等高點之間，某處存在水平切線。結論是存在性——不是唯一性。這樣的點可能有很多，也可能恰好只有一個。

例。 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上：$f(0) = f(\pi) = 0$，且 $f'(x) = \cos x = 0$ 在 $c = \pi/2$ 處成立。此情形下唯一。

例。 $f(x) = x^2(x-1)^2$ 在 $[0, 1]$ 上：$f(0) = f(1) = 0$。計算 $f'(x) = 2x(x-1)(2x-1)$，零點在 $x = 0$、$x = 1/2$ 和 $x = 1$ 處。內部零點為 $c = 1/2$。

計算根的個數

羅爾定理限制了根的累積速率。

推論。 在可微函式的任意兩個不同根之間，其導數至少有一個根。

證明。 若 $f(a) = f(b) = 0$，$a < b$，直接對 $[a, b]$ 套用羅爾定理，得 $c \in (a, b)$ 使得 $f'(c) = 0$。$\square$

應用：$n$ 次多項式至多有 $n$ 個實根。 $n$ 次多項式 $p$ 至多有 $n$ 個根。羅爾定理提供了一個獨立的驗證：$p'$ 是 $n-1$ 次多項式，至多有 $n-1$ 個根，因此 $p$ 至多有 $n$ 個根（$p'$ 能提供零點的區間比 $p$ 的根少一個）。

摘要

• 羅爾定理：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續、在 $(a, b)$ 上可微，且 $f(a) = f(b)$，則對某個 $c \in (a, b)$ 有 $f'(c) = 0$。
• 證明：極值定理提供內部極值（除非 $f$ 為常數）；費馬引理使其導數為零。
• 在 $f$ 的任意兩個根之間存在 $f'$ 的一個根。
• 定理斷言 $c$ 的存在性，但不保證唯一性。