極值定理（Extreme Value Theorem）

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 連續性

先備知識

飛機起飛、爬升、巡航、下降、降落。高度是時間在閉區間上的連續函式。它在飛行過程中某處必須達到最高點和最低點。極值定理（extreme value theorem）告訴我們這永遠成立——不只對飛機，對任何在閉有界區間上的連續函式皆然。

定理陳述

定理（極值定理，EVT）。 若 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 是連續的，則 ff 在 [a,b][a, b] 上能取到其最大值與最小值：存在 xmax⁡,xmin⁡∈[a,b]x_{\max}, x_{\min} \in [a, b] 使得

f(xmin⁡)≤f(x)≤f(xmax⁡)對所有 x∈[a,b].f(x_{\min}) \leq f(x) \leq f(x_{\max}) \quad \text{對所有 } x \in [a, b].

證明

證明分兩階段：先證 ff 有上界，再證上確界（supremum）實際上能被取到。

第一階段：ff 有上界

反設 ff 在 [a,b][a, b] 上無上界。則對每個 n∈Nn \in \mathbb{N} 存在 xn∈[a,b]x_n \in [a, b] 使得 f(xn)>nf(x_n) > n。數列 (xn)(x_n) 在有界區間 [a,b][a, b] 內，故由波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理（Bolzano–Weierstrass theorem），它有一個收斂子數列 (xnk)(x_{n_k}) 滿足 xnk→c∈[a,b]x_{n_k} \to c \in [a, b]。

因 ff 在 cc 處連續：

lim⁡k→∞f(xnk)=f(c).\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(c).

但 f(xnk)>nk→∞f(x_{n_k}) > n_k \to \infty，與收斂至有限值 f(c)f(c) 矛盾。故 ff 有上界。

對 −f-f 施行同樣的論證，可得 ff 也有下界。

第二階段：ff 取到上確界

設 M≔sup⁡x∈[a,b]f(x)M \coloneqq \sup_{x \in [a,b]} f(x)，由第一階段知 MM 有限。由上確界的定義，對每個 n∈Nn \in \mathbb{N} 存在 yn∈[a,b]y_n \in [a, b] 使得

M−1n<f(yn)≤M.M - \frac{1}{n} < f(y_n) \leq M.

由波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理，(yn)(y_n) 有一個收斂子數列 ynk→xmax⁡∈[a,b]y_{n_k} \to x_{\max} \in [a, b]。由連續性：

f(xmax⁡)=lim⁡k→∞f(ynk)=M.f(x_{\max}) = \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = M.

故 ff 在 xmax⁡x_{\max} 取到其最大值。最小值的存在性由對 −f-f 施行同樣論證可得。□\square

各假設的必要性

連續性、閉性、有界性——三個假設缺一不可。去掉任何一個，結論都可能失效。

去掉連續性（[0,1][0,1] 上的不連續函式）

定義

f(x)≔{xx∈(0,1]0.5x=0.f(x) \coloneqq \begin{cases} x & x \in (0, 1] \\ 0.5 & x = 0. \end{cases}

則 sup⁡x∈[0,1]f(x)=1\sup_{x \in [0,1]} f(x) = 1，但方程式 f(x)=1f(x) = 1 在 [0,1][0, 1] 中無解——上確界無法被取到。

去掉閉性（開區間）

函式 f(x)=xf(x) = x 在開區間 (0,1)(0, 1) 上連續，但 sup⁡f=1\sup f = 1 和 inf⁡f=0\inf f = 0 均無法被取到——兩端點均不在定義域內。

去掉有界性（無界區間）

函式 f(x)=xf(x) = x 在 [0,∞)[0, \infty) 上連續（閉但無界），且無上界，故不存在最大值。

[a,b][a, b] 的像是閉區間

極值定理說 ff 取到最小值 mm 和最大值 MM。結合中間值定理——它保證 ff 在其取到的任意兩個值之間取遍每一個值——ff 在 [a,b][a, b] 上的像恰好是閉區間 [m,M][m, M]。

摘要

  • 極值定理：在閉有界區間 [a,b][a, b] 上的連續函式必能取到最大值與最小值。
  • 證明思路：接近上確界的點構成 [a,b][a, b] 中的數列；波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理抽取收斂子數列；連續性迫使其極限等於上確界。
  • 三個假設均不可少：去掉連續性、閉性或有界性，各自都有不取到極值的反例。
  • 推論：由極值定理與中間值定理合用，f([a,b])f([a, b]) 恰為閉區間 [min⁡f, max⁡f][\min f,\, \max f]。