最大値・最小値定理

Basis
最終更新: タグ: 微積分, 連続性

前提知識

飛行機が離陸し、上昇し、巡航し、降下して着陸する。高度は閉区間上の時間の連続関数だ。飛行中のどこかで最も高い地点と最も低い地点に必ず到達する。最大値・最小値定理（Extreme Value Theorem）はこれが常に成り立つことを保証する——航空機だけでなく、閉有界区間上の任意の連続関数に対して。

定理の主張

定理（最大値・最小値定理、EVT）。 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} が連続ならば、ff は [a,b][a, b] 上で最大値と最小値を取る：すなわち xmax⁡,xmin⁡∈[a,b]x_{\max}, x_{\min} \in [a, b] が存在して

f(xmin⁡)≤f(x)≤f(xmax⁡)for all x∈[a,b].f(x_{\min}) \leq f(x) \leq f(x_{\max}) \quad \text{for all } x \in [a, b].

が成り立つ。

証明

証明は二段階からなる：まず ff が上に有界であることを示し、次に上限が実際に達成されることを示す。

第一段階：ff は上に有界である

ff が [a,b][a, b] 上で上に有界でないと仮定して矛盾を導く。すると各 n∈Nn \in \mathbb{N} に対して f(xn)>nf(x_n) > n を満たす xn∈[a,b]x_n \in [a, b] が存在する。数列 (xn)(x_n) は有界区間 [a,b][a, b] に含まれるので、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理により収束部分列 (xnk)(x_{n_k}) が存在し、xnk→c∈[a,b]x_{n_k} \to c \in [a, b] となる。

ff は cc で連続だから：

lim⁡k→∞f(xnk)=f(c).\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(c).

しかし f(xnk)>nk→∞f(x_{n_k}) > n_k \to \infty であり、有限値 f(c)f(c) への収束と矛盾する。よって ff は上に有界だ。

−f-f に同じ議論を適用することで、ff は下にも有界である。

第二段階：ff は上限を達成する

M≔sup⁡x∈[a,b]f(x)M \coloneqq \sup_{x \in [a,b]} f(x) とおく。第一段階より MM は有限だ。上限の定義より、各 n∈Nn \in \mathbb{N} に対して yn∈[a,b]y_n \in [a, b] が存在して

M−1n<f(yn)≤M.M - \frac{1}{n} < f(y_n) \leq M.

ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理より (yn)(y_n) は収束部分列 ynk→xmax⁡∈[a,b]y_{n_k} \to x_{\max} \in [a, b] を持つ。連続性から

f(xmax⁡)=lim⁡k→∞f(ynk)=M.f(x_{\max}) = \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = M.

よって ff は xmax⁡x_{\max} で最大値を達成する。最小値は −f-f に同じ議論を適用することで得られる。□\square

各仮定が必要な理由

連続性・閉性・有界性の三つの仮定はすべて本質的だ。いずれか一つを取り除くと結論が成り立たなくなる。

連続性なし（[0,1][0,1] 上の不連続関数）

f(x)≔{xx∈(0,1]0.5x=0f(x) \coloneqq \begin{cases} x & x \in (0, 1] \\ 0.5 & x = 0 \end{cases}

と定めると、sup⁡x∈[0,1]f(x)=1\sup_{x \in [0,1]} f(x) = 1 だが f(x)=1f(x) = 1 を満たす x∈[0,1]x \in [0, 1] は存在しない——上限が達成されない。

閉性なし（開区間）

開区間 (0,1)(0, 1) 上の関数 f(x)=xf(x) = x は連続だが、sup⁡f=1\sup f = 1 と inf⁡f=0\inf f = 0 は共に達成されない——どちらの端点も定義域に含まれないからだ。

有界性なし（非有界区間）

[0,∞)[0, \infty) 上の関数 f(x)=xf(x) = x は閉じた（しかし非有界な）集合上で連続で、上に有界でないため最大値が存在しない。

[a,b][a, b] の像は閉区間

EVT により ff は最小値 mm と最大値 MM を達成する。中間値定理——ff が取る任意の二値の間のすべての値を取ることを保証する——と組み合わせると、[a,b][a, b] 上の ff の像はちょうど閉区間 [m,M][m, M] になる。

まとめ

  • 最大値・最小値定理：閉有界区間 [a,b][a, b] 上の連続関数は最大値と最小値の両方を取る。
  • 証明の概要：上限に近い点が [a,b][a, b] の数列を形成し、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスが収束部分列を取り出し、連続性がその極限を上限に等しくさせる。
  • 三つの仮定はいずれも本質的：連続性・閉性・有界性のどれかを落とすと、極値が達成されない反例が存在する。
  • 系：像 f([a,b])f([a, b]) は閉区間 [min⁡f, max⁡f][\min f,\, \max f] であり、EVT と中間値定理の組み合わせによる。