連続関数

チェックポイント

• 連続関数 Basis 関数がある点で連続とは、その点での極限が関数値に等しいことをいう。このチェックポイントでは点上および集合上の連続性を定義し、連続関数の代数を証明し、すべての初等関数がその定義域で連続であることを確立する。
• 最大値・最小値定理 Basis 閉有界区間上の連続関数は最大値と最小値の両方を取る。このチェックポイントでは有界性の議論を用いて最大値・最小値定理を証明し、連続性・閉性・有界性のいずれかの仮定を落とすと結論が成り立たなくなることを説明する。
• 中間値定理 Basis $f$ が $[a, b]$ 上で連続で、$y$ が $f(a)$ と $f(b)$ の間の値であれば、$f(c) = y$ を満たす $c \\in [a, b]$ が存在する。このチェックポイントでは ℝ の完備性を用いて定理を証明し、零点探索と存在証明への応用を説明する。
• 関数の極限 Basis 関数の極限は、$x$ がある点に近づくにつれて $f(x)$ が近づく値を表す。このチェックポイントでは ε–δ 定義と数列による特徴づけの両方を与え、それらが同値であることを証明し、典型的な実関数の極限を計算する。
• 極限の局所的性質 Basis 極限は算術と大小関係に関して局所的にうまく振る舞う：$f$ と $g$ がある点で極限を持てば $f±g$, $fg$, $f/g$（分母がゼロでない場合）も極限を持ち、不等式は極限に引き継がれる。このチェックポイントでは算術定理・大小定理・はさみうちの定理・局所的符号保存を証明する。