連續函數（Continuous Function）

函數極限告訴你函式在某點趨近的值。連續性則追問函式是否抵達——極限是否等於實際的函數值。直觀上，若輸入的微小改變只帶來輸出的微小改變，沒有突然的跳躍或缺口，則函式是連續的。

在某點連續

定義。 函式 $f : D \to \mathbb{R}$ 在 $a \in D$ 處連續（continuous at $a$），若

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

這將三個條件打包成一個：(1) $f(a)$ 有定義，(2) $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，(3) 極限等於 $f(a)$。

用 ε–δ 語言表述：$f$ 在 $a$ 連續，若且唯若對每個 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得

$$x \in D \text{ 且 } |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$$

注意與極限定義不同：此處 $x$ 可以等於 $a$——在該點條件顯然成立。

若 $a$ 是 $D$ 的孤立點（isolated point）——$a$ 的某個鄰域不包含 $D$ 中的其他點——則 $f$ 在 $a$ 處自動連續，因為極限條件被空洞地滿足。

在集合上連續

定義。 若 $f$ 在 $S$ 的每個點都連續，則稱 $f$ 在 $S \subseteq D$ 上連續（continuous on $S$）。當 $S = D$ 時，簡稱 $f$ 是連續的。

對於定義在閉區間 $[a, b]$ 上的函式，端點處的連續性以單側方式解釋：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ 且 $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$。

連續函式的代數封閉性

極限的算術法則可以直接沿用。

定理。 若 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 處連續，則下列函式也在 $a$ 處連續：

• $f + g$、$f - g$、$f \cdot g$
• $f / g$，前提是 $g(a) \neq 0$
• $c \cdot f$，其中 $c$ 為任意常數

證明。 以 $f + g$ 為例：因 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$，極限的和法則給出 $\lim_{x \to a}(f + g)(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a)$。其餘情形類似地由對應的極限法則推得。$\square$

複合函式

定理。 若 $g$ 在 $a$ 處連續，$f$ 在 $g(a)$ 處連續，則 $f \circ g$ 在 $a$ 處連續。

證明。 設 $\varepsilon > 0$。$f$ 在 $g(a)$ 的連續性給出 $\eta > 0$，使得 $|y - g(a)| < \eta$ 蘊含 $|f(y) - f(g(a))| < \varepsilon$。$g$ 在 $a$ 的連續性給出 $\delta > 0$，使得 $|x - a| < \delta$ 蘊含 $|g(x) - g(a)| < \eta$。合併：$|x - a| < \delta$ 蘊含 $|f(g(x)) - f(g(a))| < \varepsilon$。$\square$

初等函式均連續

每個初等函式（elementary function）在其自然定義域上連續。

函式	連續的定義域
多項式	$\mathbb{R}$
有理式 $p/q$	$\{x : q(x) \neq 0\}$
$e^x$	$\mathbb{R}$
$\ln x$	$(0, \infty)$
$\sin x$、$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\{x : \cos x \neq 0\}$

多項式之所以連續，是因為 $\lim_{x \to a} x = a$，而極限算術將此延伸至所有單項式，再延伸至所有多項式。其他初等函式的連續性則各自依據其定義或級數展開加以證明；複合函式由上述定理保持連續性。

這意味著，只要函式在該點有定義，你可以直接代入該點的值來計算初等表達式的極限。

不連續性

當 $f$ 在 $a$ 處不連續時，可按實際發生的情況對不連續性分類：

類型	行為
可去不連續（Removable）	$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在但 $\neq f(a)$，或 $f(a)$ 無定義
跳躍不連續（Jump）	兩個單側極限均存在但不相等：$\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$
本質不連續（Essential）	至少一個單側極限不存在（或為 $\pm\infty$）

可去不連續可以藉由重新定義 $f(a) \coloneqq \lim_{x \to a} f(x)$ 來修復。跳躍不連續與本質不連續無法用這種方式補救。

摘要

• $f$ 在 $a$ 處連續若 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$——極限存在且與函數值吻合。
• 在集合上連續指在該集合每個點都連續。
• 連續函式的和、差、積、商（分母非零）及複合均連續。
• 每個初等函式在其自然定義域上連續；初等表達式的極限可直接代入計算。
• 不連續性分為可去、跳躍或本質三種——只有可去不連續可以藉由重新定義函數值來修復。