初等函數（Elementary Functions）

Basis
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先備知識

在前面的各章節中，你已逐一認識了古典分析學的主要函式：多項式、指數函數（exponential function）、對數函數（logarithmic function）、三角函數（trigonometric functions）及其反函式。現在各個片段都已齊備，是時候退一步問：這些函式究竟有什麼共同點？答案由**初等函數（elementary function）**的概念來捕捉——即能夠用上述成分的有限組合以*封閉形式（closed form）*表示的函式。

基本構成要素

初等函數建立在五大函式族之上。

多項式與有理函式

多項式（polynomial） p(x)=anxn+⋯+a0p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 僅使用恆等函式 xx 與實數常數的加法和乘法。多項式是最簡單的初等函式；詳見多項式函數。

**有理函式（rational function）**是兩個多項式的比值 p(x)q(x)\tfrac{p(x)}{q(x)}（q≢0q \not\equiv 0）。在 q(x)≠0q(x) \neq 0 的地方它完全有定義，並繼承了多項式的所有代數結構。

代數函式

函式 ff 是代數函式（algebraic function），若它滿足 ff 和 xx 的多項式方程且係數為多項式，即存在多項式 p0,…,pnp_0, \ldots, p_n（不全為零）使得

pn(x)f(x)n+pn−1(x) f(x)n−1+⋯+p0(x)=0.(1)p_n(x)f(x)^n + p_{n-1}(x)\,f(x)^{n-1} + \cdots + p_0(x) = 0. \tag{1}

每個多項式和每個有理函式都是代數函式（在 (1)(1) 中取 n=1n = 1）。更本質地，諸如 x\sqrt{x}、x−13\sqrt[3]{x-1} 以及巢狀根式 1+x\sqrt{1 + \sqrt{x}} 等 nn 次根式都是代數函式——它們滿足形如 fn=g(x)f^n = g(x)（gg 為有理函式）的方程。

不是代數函式的函式稱為超越函式（transcendental function）。

指數函數與對數函數

指數函數 exp⁡(x)=ex\exp(x) = e^x 與自然對數 ln⁡x\ln x 是超越初等函式，分別在指數函數和對數函數中展開。一般的指數 bx=exp⁡(xln⁡b)b^x = \exp(x \ln b) 和對數 log⁡bx=ln⁡xln⁡b\log_b x = \tfrac{\ln x}{\ln b} 也包含在內。

三角函數與反三角函數

sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan、cot⁡\cot、sec⁡\sec、csc⁡\csc 及其反函式 arcsin⁡\arcsin、arccos⁡\arccos、arctan⁡\arctan、arccot\text{arccot}、arcsec\text{arcsec}、arccsc\text{arccsc} 都是超越初等函式，分別在三角函數和反三角函數中介紹。

雙曲函數與反雙曲函數

sinh⁡\sinh、cosh⁡\cosh、tanh⁡\tanh、coth\text{coth}、sech\text{sech}、csch\text{csch} 及其反函式 arsinh\text{arsinh}、arcosh\text{arcosh}、artanh\text{artanh}、…\ldots 都是初等函式——如雙曲函數及其反函數所示，它們直接由指數函數和對數函數定義。

組合構成要素：定義

上述五大族是「原子」。從它們出發，用兩種運算建構所有初等函式：

  1. 算術運算： 給定初等函式 ff 和 gg，函式 f+gf + g、f−gf - g、f⋅gf \cdot g 和 f/gf/g（g≠0g \neq 0）都是初等函式。
  2. 函式複合（composition）： 若 ff 和 gg 是初等函式，且 gg 的值域包含在 ff 的定義域內，則 x↦f(g(x))x \mapsto f(g(x)) 是初等函式。

定義。 **實初等函式（real elementary function）**是指從實數常數和恆等函式 x↦xx \mapsto x 出發，對上述五大族進行有限次算術運算和函式複合所得到的任意函式。

實際上，初等函式就是可以用標準函式符號 exp⁡\exp、ln⁡\ln、sin⁡\sin、cos⁡\cos、…\ldots 和代數運算寫成公式的函式，允許任意有限深度的巢狀。

範例集錦

以下函式都是初等函式：

函式類型
3x4−2x+73x^4 - 2x + 7多項式
x2−1x3+x\dfrac{x^2 - 1}{x^3 + x}有理函式
x2+1\sqrt{x^2 + 1}代數函式（滿足 f2=x2+1f^2 = x^2+1）
ex2e^{x^2}超越——多項式的指數
ln⁡(sin⁡x)\ln(\sin x)超越——對數與正弦的複合
arctan⁡(ex)\arctan(e^x)超越——反三角函式與指數的複合
cosh⁡(x)\cosh(\sqrt{x})超越——代數函式的雙曲函數
xx=exln⁡xx^x = e^{x \ln x}超越——指數與對數的複合
sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x初等函式（等於常數 11，但形式上仍是初等函式）

注意 xxx^x 是初等函式，儘管它既不是冪函式（固定指數）也不是指數函式（固定底數）：公式 xx=exp⁡(xln⁡x)x^x = \exp(x \ln x) 將它明確地歸入初等函式的類別。

代數函式與超越函式

上述表格使兩大廣泛類別變得具體。

代數函式在 R(x)\mathbb{R}(x) 上滿足多項式方程 (1)(1)。在代數封閉域上，代數函式恰好是係數為有理函式的多項式的根。任何代數函式的複合或算術組合仍是代數函式。

超越函式是初等但非代數的函式。指數 exe^x、對數 ln⁡x\ln x 以及所有三角函數和雙曲函數都是超越的：對它們而言，形如 (1)(1) 的多項式關係都不成立。（嚴格證明超越性需要 Liouville 定理或更高深的代數工具，超出目前的先備知識範圍。）

初等函式的微分

每個初等函式在其有定義之處都是可微的，且其導函數仍是初等函式。這由鏈式法則（chain rule）、乘積法則（product rule）、商法則（quotient rule）以及各構成要素已知的導函數得出：

函式導函數
xnx^nnxn−1n x^{n-1}
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1/x1/x
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
arctan⁡x\arctan x1/(1+x2)1/(1+x^2)
sinh⁡x\sinh xcosh⁡x\cosh x
arsinh x\text{arsinh}\, x1/x2+11/\sqrt{x^2+1}

將這些與鏈式法則和乘積法則結合，可以用有限次、機械性的步驟對任何初等函式求導。導函數始終是初等函式。

非初等函式

並非分析學中遇到的所有函式都是初等函式。一些重要的函式作為積分或微分方程的解出現，且可以證明它們沒有初等封閉形式：

  • 誤差函式（error function） erf⁡(x)=2π∫0xe−t2 dt\operatorname{erf}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt——高斯函式的積分。其被積函式 e−t2e^{-t^2} 是初等函式，但不存在初等的反導函數。
  • Gamma 函式 Γ(x)=∫0∞tx−1e−t dt\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt——階乘 n!=Γ(n+1)n! = \Gamma(n+1) 的連續延伸。
  • 指數積分（exponential integral） Ei⁡(x)=∫−∞xett dt\operatorname{Ei}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x \dfrac{e^t}{t}\,dt 及相關的對數積分。
  • Bessel 函式 Jn(x)J_n(x)，Bessel 微分方程的解，在物理學中凡有柱對稱性的問題中就會出現。

判定積分何時有初等反導函數的精確判準由Liouville 定理（微分代數）給出，該定理陳述了關於被積函式代數結構的條件。這屬於進階層級的內容。

摘要

  • 初等函式由實數常數、恆等函式以及五大族——多項式、代數函式、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數、雙曲函數與反雙曲函數——透過有限次算術運算和函式複合建構而成。
  • 代數函式在 ff 和 xx 上滿足多項式方程 (1)(1)；包括多項式、有理函式和 nn 次根式。
  • 超越初等函式——exe^x、ln⁡x\ln x、sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 及其親屬——是初等函式，但不滿足任何此類多項式方程。
  • 每個初等函式在有定義之處都是可微的，且其導函數仍是初等函式。
  • 重要的函式如 erf⁡(x)\operatorname{erf}(x)、Γ(x)\Gamma(x) 和 Bessel 函式不是初等函式：由 Liouville 定理保證，它們無法表示為由五大族建構的有限公式。