雙曲函數及其反函數（Hyperbolic Functions and Their Inverses）

Basis
最後更新: 標籤: 初等函數

先備知識

正如 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) 在 θ\theta 變化時描繪單位圓 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，**雙曲函數（hyperbolic functions）**參數化了單位雙曲線 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1：點 (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t) 對每個實數 tt 都在該雙曲線上。除幾何圖像外，它們自然地作為微分方程 y′′=yy'' = y 的解出現，描述懸掛纜線的形狀（懸鏈線（catenary）），並在狹義相對論的勞侖茲變換（Lorentz boosts）中出現。與三角函數的對應物不同，它們不是週期的——它們直接由指數函數建構。

定義

**雙曲餘弦（hyperbolic cosine）與雙曲正弦（hyperbolic sine）**定義為

cosh⁡x≔ex+e−x2,sinh⁡x≔ex−e−x2.(1)\cosh x \coloneqq \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x \coloneqq \frac{e^x - e^{-x}}{2}. \tag{1}

可以把 cosh⁡x\cosh x 看作指數的偶數部分，sinh⁡x\sinh x 看作奇數部分，因為 ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x 且 e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x。

其餘四個雙曲函數定義為這兩者的比值：

tanh⁡x≔sinh⁡xcosh⁡x,coth⁡x≔cosh⁡xsinh⁡x,\tanh x \coloneqq \frac{\sinh x}{\cosh x}, \qquad \operatorname{coth} x \coloneqq \frac{\cosh x}{\sinh x}, sech⁡x≔1cosh⁡x,csch⁡x≔1sinh⁡x.\operatorname{sech} x \coloneqq \frac{1}{\cosh x}, \qquad \operatorname{csch} x \coloneqq \frac{1}{\sinh x}.

注意 coth⁡x\operatorname{coth} x 和 csch⁡x\operatorname{csch} x 在 x=0x = 0 處無定義，因為那裡 sinh⁡0=0\sinh 0 = 0。

基本恆等式

雙曲函數之間的核心代數關係是

cosh⁡2x−sinh⁡2x=1.\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.

推導。 代入定義 (1)(1)：

cosh⁡2x−sinh⁡2x=(ex+e−x2) ⁣2−(ex−e−x2) ⁣2=(ex+e−x)2−(ex−e−x)24.\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^{\!2} - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^{\!2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4}.

利用代數恆等式 (a+b)2−(a−b)2=4ab(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab，令 a=exa = e^x，b=e−xb = e^{-x}，分子變為 4exe−x=4e0=44e^x e^{-x} = 4e^0 = 4。除以 44 得 11。□\square

這與圓的恆等式 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 相呼應，並確認了 (cosh⁡t, sinh⁡t)(\cosh t,\, \sinh t) 對所有實數 tt 都在單位雙曲線 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 上。

加法公式

對所有實數 xx 和 yy：

cosh⁡(x+y)=cosh⁡xcosh⁡y+sinh⁡xsinh⁡y,\cosh(x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y, sinh⁡(x+y)=sinh⁡xcosh⁡y+cosh⁡xsinh⁡y.\sinh(x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y.

可以代入定義 (1)(1) 展開來驗證。與圓函式的公式 cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos(x+y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y 和 sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y 相比：cosh⁡\cosh 的加法公式在餘弦公式有 −- 號的地方出現了 ++ 號。這個符號差異直接源於基本恆等式的符號差異（cosh⁡2−sinh⁡2=1\cosh^2 - \sinh^2 = 1 對比 cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1）。

導函數

對定義 (1)(1) 關於 xx 逐項求導：

(cosh⁡x)′=ex−e−x2=sinh⁡x,(sinh⁡x)′=ex+e−x2=cosh⁡x.(\cosh x)' = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x, \qquad (\sinh x)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x.

所以 sinh⁡\sinh 和 cosh⁡\cosh 互為對方的導函數——它們互換，而 sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 每次求導都帶符號變化地交替。

對 tanh⁡\tanh，應用商法則（quotient rule）再利用基本恆等式：

(tanh⁡x)′=(sinh⁡x)′cosh⁡x−sinh⁡x (cosh⁡x)′cosh⁡2x=cosh⁡2x−sinh⁡2xcosh⁡2x=1cosh⁡2x=sech⁡2x.(\tanh x)' = \frac{(\sinh x)'\cosh x - \sinh x\,(\cosh x)'}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x.

再次應用基本恆等式得另一種形式 sech⁡2x=1−tanh⁡2x\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x，所以

(tanh⁡x)′=sech⁡2x=1−tanh⁡2x.(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x.

其餘三個函式的導函數由商法則和鏈式法則（chain rule）得出：

(coth⁡x)′=−csch⁡2x,(sech⁡x)′=−sech⁡xtanh⁡x,(csch⁡x)′=−csch⁡xcoth⁡x.(\operatorname{coth} x)' = -\operatorname{csch}^2 x, \qquad (\operatorname{sech} x)' = -\operatorname{sech} x\tanh x, \qquad (\operatorname{csch} x)' = -\operatorname{csch} x\operatorname{coth} x.

cosh 和 sinh 的性質

  • cosh⁡\cosh 是偶函式（even）：cosh⁡(−x)=cosh⁡x\cosh(-x) = \cosh x。由 AM-GM 不等式，ex+e−x≥2ex⋅e−x=2e^x + e^{-x} \geq 2\sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 2，所以對所有 x∈Rx \in \mathbb{R}，cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1，等號僅在 x=0x = 0 處成立。y=cosh⁡xy = \cosh x 的圖形是懸鏈線（catenary）——均勻柔索在重力作用下懸掛所呈現的形狀。
  • sinh⁡\sinh 是奇函式（odd）：sinh⁡(−x)=−sinh⁡x\sinh(-x) = -\sinh x。它在整個 R\mathbb{R} 上嚴格遞增（因為 (sinh⁡x)′=cosh⁡x≥1>0(\sinh x)' = \cosh x \geq 1 > 0），值域為 R\mathbb{R}。
  • tanh⁡\tanh 是奇函式且嚴格遞增，將 R\mathbb{R} 映射到開區間 (−1,1)(-1, 1)。當 x→±∞x \to \pm\infty 時，e−∣x∣→0e^{-|x|} \to 0 迫使 tanh⁡x→±1\tanh x \to \pm 1，所以 y=±1y = \pm 1 是水平漸近線。

反雙曲函數

由於 sinh⁡\sinh 在 R\mathbb{R} 上嚴格遞增，它有全局反函式。對於 cosh⁡\cosh，必須限制在 [0,∞)[0, \infty) 上，那裡它嚴格遞增。tanh⁡\tanh 的自然定義域是 R\mathbb{R}，值域為 (−1,1)(-1, 1)。

值得注意的是，三個反函式都有關於對數的**封閉形式（closed-form）**表達式。

反雙曲正弦（Arsinh）

令 y=sinh⁡x=ex−e−x2y = \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}，解出 xx。兩側乘以 2ex2e^x：

e2x−2y ex−1=0.e^{2x} - 2y\,e^x - 1 = 0.

這是關於 exe^x 的二次方程。二次公式給出 ex=y±y2+1e^x = y \pm \sqrt{y^2 + 1}。由於 ex>0e^x > 0 且 y2+1>∣y∣\sqrt{y^2+1} > |y|，只有正根合法。取對數：

arsinh⁡x≔ln⁡ ⁣(x+x2+1),x∈R.\operatorname{arsinh} x \coloneqq \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right), \qquad x \in \mathbb{R}.

反雙曲餘弦（Arcosh）

令 y=cosh⁡x=ex+e−x2y = \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}（x≥0x \geq 0），解出。兩側乘以 2ex2e^x：

e2x−2y ex+1=0,e^{2x} - 2y\,e^x + 1 = 0,

所以 ex=y±y2−1e^x = y \pm \sqrt{y^2 - 1}。這要求 y≥1y \geq 1。對 x≥0x \geq 0，較大的根對應 x≥0x \geq 0，故選 ++ 號。取對數：

arcosh⁡x≔ln⁡ ⁣(x+x2−1),x≥1.\operatorname{arcosh} x \coloneqq \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right), \qquad x \geq 1.

反雙曲正切（Artanh）

令 y=tanh⁡x=ex−e−xex+e−xy = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}，解出。令 u=e2xu = e^{2x}：

y=u−1u+1⟹y(u+1)=u−1⟹u=1+y1−y.y = \frac{u - 1}{u + 1} \quad\Longrightarrow\quad y(u + 1) = u - 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1 + y}{1 - y}.

由於 u=e2xu = e^{2x}，取對數得 2x=ln⁡ ⁣1+y1−y2x = \ln\!\dfrac{1+y}{1-y}，因此：

artanh⁡x≔12ln⁡1+x1−x,∣x∣<1.\operatorname{artanh} x \coloneqq \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}, \qquad |x| < 1.

限制 ∣x∣<1|x| < 1 與 tanh⁡\tanh 的值域一致，並確保對數內的 1+x1 + x 和 1−x1 - x 均嚴格為正。

反雙曲函數的導函數

可以直接對對數表達式微分，也可以應用反函式定理，兩種方法如下所示。

反雙曲正弦的導函數

對 arsinh⁡x=ln⁡ ⁣(x+x2+1)\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) 求導：

(arsinh⁡x)′=1x+x2+1⋅(1+xx2+1)=1x+x2+1⋅x+x2+1x2+1=1x2+1.(\operatorname{arsinh} x)' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. arsinh⁡′(x)=1x2+1,x∈R.\operatorname{arsinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}, \qquad x \in \mathbb{R}.

反雙曲餘弦的導函數

對 arcosh⁡x=ln⁡ ⁣(x+x2−1)\operatorname{arcosh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)（x>1x > 1）求導：

(arcosh⁡x)′=1x+x2−1⋅(1+xx2−1)=1x+x2−1⋅x+x2−1x2−1=1x2−1.(\operatorname{arcosh} x)' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2-1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2-1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. arcosh⁡′(x)=1x2−1,x>1.\operatorname{arcosh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad x > 1.

反雙曲正切的導函數

改寫 artanh⁡x=12ln⁡(1+x)−12ln⁡(1−x)\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{2}\ln(1+x) - \dfrac{1}{2}\ln(1-x) 並對 ∣x∣<1|x| < 1 求導：

(artanh⁡x)′=12⋅11+x+12⋅11−x=12⋅(1−x)+(1+x)(1+x)(1−x)=11−x2.(\operatorname{artanh} x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x) + (1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{1}{1 - x^2}. artanh⁡′(x)=11−x2,∣x∣<1.\operatorname{artanh}'(x) = \frac{1}{1 - x^2}, \qquad |x| < 1.

與反三角函數中的 arctan⁡′(x)=11+x2\arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} 相比：兩者唯一的差別是分母中的符號，這反映了 cosh⁡2−sinh⁡2=1\cosh^2 - \sinh^2 = 1 與 cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1 的符號差異。

導函數彙整

六個雙曲函數的導函數，彙整供參考：

函式導函數
sinh⁡x\sinh xcosh⁡x\cosh x
cosh⁡x\cosh xsinh⁡x\sinh x
tanh⁡x\tanh xsech⁡2x\operatorname{sech}^2 x
coth⁡x\operatorname{coth} x−csch⁡2x-\operatorname{csch}^2 x
sech⁡x\operatorname{sech} x−sech⁡xtanh⁡x-\operatorname{sech} x\tanh x
csch⁡x\operatorname{csch} x−csch⁡xcoth⁡x-\operatorname{csch} x\operatorname{coth} x

摘要

  • 雙曲函數由指數函數定義：cosh⁡x≔ex+e−x2\cosh x \coloneqq \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}，sinh⁡x≔ex−e−x2\sinh x \coloneqq \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}，tanh⁡x≔sinh⁡xcosh⁡x\tanh x \coloneqq \dfrac{\sinh x}{\cosh x}。
  • 基本恆等式 cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 與畢達哥拉斯恆等式相呼應，說明 (cosh⁡t,sinh⁡t)(\cosh t, \sinh t) 在單位雙曲線上。
  • 導函數：(sinh⁡x)′=cosh⁡x(\sinh x)' = \cosh x，(cosh⁡x)′=sinh⁡x(\cosh x)' = \sinh x，(tanh⁡x)′=sech⁡2x(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x。
  • cosh⁡\cosh 是偶函式且 cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1；sinh⁡\sinh 是奇函式且嚴格遞增，值域為 R\mathbb{R}；tanh⁡\tanh 將 R\mathbb{R} 映射到 (−1,1)(-1, 1)。
  • 反雙曲函數有封閉形式的對數表達式，由代數求解得出：
    • arsinh⁡x=ln⁡ ⁣(x+x2+1)\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)，定義在 R\mathbb{R} 上。
    • arcosh⁡x=ln⁡ ⁣(x+x2−1)\operatorname{arcosh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)，定義在 [1,∞)[1, \infty) 上。
    • artanh⁡x=12ln⁡1+x1−x\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x}，定義在 (−1,1)(-1, 1) 上。
  • 其導函數——1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}、1x2−1\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}、11−x2\dfrac{1}{1-x^2}——與反三角函數的導函數密切對應，差別僅在根號下及分母中的符號。