反三角函數（Inverse Trigonometric Functions）

Basis
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先備知識

從三角函數你已知道 sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan 各將一個角度映射到一個比值。自然的反向問題是：給定一個比值，是哪個角度產生了它？回答這個問題需要反三角函數（inverse trigonometric functions）——但有一個癥結。由於正弦和餘弦是週期函式，每隔 2π2\pi 就重複一次，因此在整個 R\mathbb{R} 上不是單射（not injective）；有重複輸出值的函式無法在全域上求反。標準的補救方法是將每個函式**限制（restrict）**到一個較小的、函式嚴格單調因而是單射的定義域，然後在那裡求反。

反正弦（Arcsine）

在區間 [−π2, π2]\left[-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}\right] 上，正弦函式從 −1-1 嚴格遞增到 11——[−1,1][-1, 1] 中的每個值恰好被取到一次。這個限制是單射的，因此有反函式。

**反正弦（arcsine）**定義為

arcsin⁡:[−1, 1]→[−π2, π2],\arcsin : [-1,\ 1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right],

其中 arcsin⁡x\arcsin x 是 [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] 中滿足 sin⁡θ=x\sin\theta = x 的唯一角度 θ\theta。

反函式關係給出兩個複合恆等式：

sin⁡(arcsin⁡x)=x對所有 x∈[−1, 1],\sin(\arcsin x) = x \quad \text{對所有 } x \in [-1,\ 1], arcsin⁡(sin⁡θ)=θ對所有 θ∈[−π2, π2].\arcsin(\sin\theta) = \theta \quad \text{對所有 } \theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right].

第二個恆等式僅在限制區間上成立。在區間之外，arcsin⁡(sin⁡θ)\arcsin(\sin\theta) 給出 θ\theta 在 [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] 中的代表值，而不是 θ\theta 本身。

反正弦的導函數

令 θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x，所以 x=sin⁡θx = \sin\theta，θ∈[−π2,π2]\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]。對 xx 求導：

1=cos⁡θ⋅dθdx.1 = \cos\theta \cdot \frac{d\theta}{dx}.

在 [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] 上，餘弦為非負，所以 cos⁡θ=1−sin⁡2θ=1−x2\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}。解出 dθdx\dfrac{d\theta}{dx}：

arcsin⁡′(x)=11−x2,x∈(−1, 1).\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,\ 1).

導函數在端點 x=±1x = \pm 1 處無定義，那裡 arcsin⁡\arcsin 的圖形有垂直切線。

反餘弦（Arccosine）

在區間 [0,π][0, \pi] 上，餘弦函式從 11 嚴格遞減到 −1-1。這個限制是單射的。

**反餘弦（arccosine）**定義為

arccos⁡:[−1, 1]→[0, π],\arccos : [-1,\ 1] \to [0,\ \pi],

其中 arccos⁡x\arccos x 是 [0,π][0, \pi] 中滿足 cos⁡θ=x\cos\theta = x 的唯一角度 θ\theta。

反餘弦的導函數

令 θ=arccos⁡x\theta = \arccos x，所以 x=cos⁡θx = \cos\theta。對 xx 求導得 1=−sin⁡θ⋅dθdx1 = -\sin\theta \cdot \dfrac{d\theta}{dx}。在 [0,π][0, \pi] 上，正弦為非負，所以 sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−x2\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}。解出：

arccos⁡′(x)=−11−x2,x∈(−1, 1).\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,\ 1).

負號反映了 arccos⁡\arccos 嚴格遞減的事實。

反正弦與反餘弦的關係

對所有 x∈[−1,1]x \in [-1, 1]：

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2.\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.

證明。 令 α=arcsin⁡x\alpha = \arcsin x，所以 sin⁡α=x\sin\alpha = x 且 α∈[−π2,π2]\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]。於是

cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α=x,\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = x,

且 π2−α∈[0,π]\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in [0, \pi]。由 arccos⁡\arccos 定義的唯一性，得 arccos⁡x=π2−α\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha，整理即得所要的恆等式。□\square

這個恆等式讓你無需任何重新計算即可在 arcsin⁡\arcsin 與 arccos⁡\arccos 之間轉換，也解釋了為何它們的導函數互為相反數。

反正切（Arctangent）

在開區間 (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) 上，正切函式嚴格遞增且取遍每個實數值恰好一次。（端點被排除，因為 tan⁡\tan 在那裡無定義。）

**反正切（arctangent）**定義為

arctan⁡:R→(−π2, π2),\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right),

其中 arctan⁡x\arctan x 是 (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) 中滿足 tan⁡θ=x\tan\theta = x 的唯一角度 θ\theta。

與 arcsin⁡\arcsin 和 arccos⁡\arccos 不同，arctan⁡\arctan 的定義域是整個 R\mathbb{R}。但值域有界，因此函式有兩條水平漸近線：

lim⁡x→+∞arctan⁡x=π2,lim⁡x→−∞arctan⁡x=−π2.\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}.

反正切的導函數

令 θ=arctan⁡x\theta = \arctan x，所以 tan⁡θ=x\tan\theta = x。對 xx 求導：

sec⁡2 ⁣θ⋅dθdx=1.\sec^2\!\theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = 1.

利用畢達哥拉斯恆等式 sec⁡2θ=1+tan⁡2θ=1+x2\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + x^2：

arctan⁡′(x)=11+x2,x∈R.\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}, \qquad x \in \mathbb{R}.

這對所有實數 xx 都有定義，且恆為正，確認了 arctan⁡\arctan 在整個定義域上嚴格遞增。

其他反三角函數

其餘三個反三角函數由將 cot⁡\cot、sec⁡\sec、csc⁡\csc 限制在標準的單射區間上再求反得到。

**反餘切（Arccotangent）**是 cot⁡\cot 限制在 (0,π)(0, \pi) 上的反函式：

arccot⁡:R→(0, π).\operatorname{arccot} : \mathbb{R} \to (0,\ \pi).

**反正割（Arcsecant）**是 sec⁡\sec 限制在 [0,π]∖{π2}[0, \pi] \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}\right\} 上的反函式：

arcsec⁡:(−∞,−1]∪[1,+∞)→[0, π]∖{π2}.\operatorname{arcsec} : (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to [0,\ \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}.

**反餘割（Arccosecant）**是 csc⁡\csc 限制在 [−π2,π2]∖{0}\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\} 上的反函式：

arccsc⁡:(−∞,−1]∪[1,+∞)→[−π2, π2]∖{0}.\operatorname{arccsc} : (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}.

這三個函式在實際應用中出現較少。遇到時，通常可以改寫成 arcsin⁡\arcsin、arccos⁡\arccos 或 arctan⁡\arctan 的形式。

導函數總覽

六個反三角函數的導函數，彙整供參考：

函式導函數導函數的定義域
arcsin⁡x\arcsin x11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}(−1, 1)(-1,\ 1)
arccos⁡x\arccos x−11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}(−1, 1)(-1,\ 1)
arctan⁡x\arctan x11+x2\dfrac{1}{1+x^2}R\mathbb{R}
arccot⁡x\operatorname{arccot} x−11+x2-\dfrac{1}{1+x^2}R\mathbb{R}
arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x1∣x∣x2−1\dfrac{1}{\lvert x \rvert\sqrt{x^2-1}}∣x∣>1\lvert x\rvert > 1
arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x−1∣x∣x2−1-\dfrac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2-1}}∣x∣>1\lvert x\rvert > 1

注意規律：arcsin⁡\arcsin 與 arccos⁡\arccos、arctan⁡\arctan 與 arccot⁡\operatorname{arccot}、arcsec⁡\operatorname{arcsec} 與 arccsc⁡\operatorname{arccsc} 各對的導函數互為相反數。這反映了互補恆等式 arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} 和 arctan⁡x+arccot⁡x=π2\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}。

摘要

  • 由於 sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan 在整個 R\mathbb{R} 上不是單射，它們的反函式需要限制到精心選取的嚴格單調區間上。
  • 反正弦：arcsin⁡:[−1,1]→[−π2,π2]\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]，在 (−1,1)(-1, 1) 上的導函數為 11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}。
  • 反餘弦：arccos⁡:[−1,1]→[0,π]\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]，在 (−1,1)(-1, 1) 上的導函數為 −11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}；滿足恆等式 arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}。
  • 反正切：arctan⁡:R→(−π2,π2)\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)，在 R\mathbb{R} 上的導函數為 11+x2\dfrac{1}{1+x^2}；有水平漸近線 ±π2\pm\dfrac{\pi}{2}。
  • 另外三個反函式 arccot⁡\operatorname{arccot}、arcsec⁡\operatorname{arcsec}、arccsc⁡\operatorname{arccsc} 遵循相同的模式，有類似的限制定義域。
  • 所有六個導函數都透過反函式定理（對定義恆等式 f(θ)=xf(\theta) = x 關於 xx 求導）推導，最終得到代數表達式——儘管原來的三角函數是超越函式。