函數

檢查點

• 初等函數（Elementary Functions） Basis 全面介紹初等函數族——多項式、有理函式與代數函式、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數及雙曲函數——並精確定義何謂「初等函數」：透過有限次算術運算與函式複合，從五大函式族中建構而成的函式。
• 指數函數（Exponential Functions） Basis 透過絕對收斂的冪級數 ∑ xᵏ/k! 定義指數函數 exp(x)，利用 Cauchy 乘積證明函數方程 exp(x+y) = exp(x)exp(y)，並建立 exp 恆正、嚴格遞增、為自身導函數，且值域為 (0, ∞) 等性質；同時定義一般指數 bˣ，說明為何 e 是最自然的底數。
• 雙曲函數及其反函數（Hyperbolic Functions and Their Inverses） Basis 由指數函數定義 sinh、cosh 和 tanh，建立其基本恆等式、加法公式與導函數，再以封閉形式的對數表達式推導出反雙曲函數。
• 反三角函數（Inverse Trigonometric Functions） Basis 透過將各三角函數限制在使其成為單射的區間上，定義六個反三角函數，並利用反函式定理及 arcsin x + arccos x = π/2 等關鍵恆等式推導其導函數。
• 對數函數（Logarithms） Basis 將自然對數定義為指數函數的反函數，推導其主要性質——乘積法則、冪次法則與導函數——再將框架延伸至任意底數的對數與指數。
• 多項式函數（Polynomial Functions） Basis 定義 ℝ 上的多項式函數，建立多項式的環結構 ℝ[x]，推導帶餘除法與餘式定理、因式定理，以重數分類根，陳述代數基本定理，並說明每個實係數多項式如何分解為一次因式與不可分解二次因式之積。
• 三角函數（Trigonometric Functions） Basis 將正弦與餘弦嚴格定義為冪級數，推導其導函數、畢達哥拉斯恆等式與加法公式，以解析方式定義 π，並介紹完整的三角函數族及其導函數。