多項式函數（Polynomial Functions）

你能用實數寫出的最簡單的非常數函式，就是多項式（polynomial）。它們只需要反覆的加法與乘法——不需要除法、平方根，也不需要任何無窮過程。這種簡單看似平凡，實則暗藏深意：多項式算術支撐著分析學的很大一部分，而仔細掌握它，既能為嚴格定義做熱身，也能為你在整個數學學習中不斷取用的工具箱添磚加瓦。

定義與術語

定義。 $\mathbb{R}$ 上次數（degree）為 $n$ 的多項式是形如

p(x) \;\coloneqq\; a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \tag{1}

的函式 $p \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，其中 $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，每個 $a_k \in \mathbb{R}$，且 $a_n \neq 0$。係數 $a_n$ 稱為首項係數（leading coefficient），$a_0$ 稱為常數項（constant term），各加項 $a_k x^k$ 稱為項（terms）。

次數較小的多項式有其傳統名稱：

次數 $n$	名稱	範例
$0$	常數式	$p(x) = 7$
$1$	一次式（線性）	$p(x) = 3x - 2$
$2$	二次式（二次函式）	$p(x) = x^2 - 5x + 6$
$3$	三次式	$p(x) = 2x^3 + x - 1$

零多項式 $p(x) = 0$（所有係數皆為零）不定義次數——或在某些約定中賦予次數 $-\infty$，以使乘積公式 $\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q$ 成立。

直觀上，次數刻畫了多項式在遠離原點處的主要行為：當 $|x|$ 很大時，$p(x)$ 大約以 $a_n x^n$ 的速度增長，其圖形與 $x$ 軸的交點或切點至多 $n$ 個。

多項式的算術

加法與純量乘法

給定多項式 $p(x) = \sum_{k=0}^{m} a_k x^k$ 與 $q(x) = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k$，其和 $p + q$ 是係數為 $a_k + b_k$ 的多項式（較短的多項式以零補齊）。當 $\deg p \neq \deg q$ 時，和的次數為 $\max(\deg p, \deg q)$；當次數相等時，首項可能相消，所以 $\deg(p+q) \leq \deg p$。

將 $p$ 的每個係數都乘以常數 $c \in \mathbb{R}$，得到純量倍（scalar multiple） $c \cdot p$，在 $c \neq 0$ 時次數不變。

乘法

將 $p$ 的每一項與 $q$ 的每一項分別相乘再合併，得到乘積：

$(p \cdot q)(x) \;=\; \sum_{k=0}^{m+n}\!\left(\sum_{\substack{i+j=k \\ 0 \leq i \leq m,\; 0 \leq j \leq n}} a_i b_j\right) x^k.$

最高次項為 $a_m b_n x^{m+n}$。由於 $a_m \neq 0$ 且 $b_n \neq 0$，此項不為零，因此

$\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q.$

環 $\mathbb{R}[x]$

所有 $\mathbb{R}$ 上多項式的集合，配備上述加法與乘法，記作 $\mathbb{R}[x]$，構成一個有單位元的交換環（commutative ring with unity）：加法與乘法皆滿足結合律與交換律，乘法對加法有分配律，零多項式是加法單位元，常數多項式 $1$ 是乘法單位元。這與整數環 $\mathbb{Z}$ 有深刻的類比——就像在 $\mathbb{Z}$ 中一樣，可以做帶餘除法，但並非每個元素在環內都有乘法逆元。

多項式除法

除法演算法

就像任何整數 $a$ 都能寫成 $a = d \cdot q + r$（其中 $0 \leq r < d$），每對多項式也可以做唯一的帶餘除法。

定理（多項式除法演算法）。 對任意 $p, d \in \mathbb{R}[x]$ 且 $d \neq 0$，存在唯一的多項式 $q$（商式）和 $r$（餘式）滿足

p(x) = d(x)\,q(x) + r(x), \qquad \deg r < \deg d. \tag{2}

當 $r = 0$ 時，稱 $d$ 整除 $p$，記作 $d \mid p$。

證明是建構性的：每一步用 $d$ 的適當倍式消去當前被除式的首項，再對餘式重複此過程。餘式的次數在每一步都嚴格遞減，所以過程必然終止。

舉一個快速例子，將 $p(x) = x^3 - 2x + 1$ 除以 $d(x) = x - 1$：

1. $x^3 / x = x^2$。減去 $x^2(x-1) = x^3 - x^2$，剩餘 $x^2 - 2x + 1$。
2. $x^2 / x = x$。減去 $x(x-1) = x^2 - x$，剩餘 $-x + 1$。
3. $-x / x = -1$。減去 $-1 \cdot (x-1) = -x+1$，剩餘 $0$。

因此 $x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) + 0$，確認 $(x-1) \mid (x^3 - 2x + 1)$。

餘式定理與因式定理

這兩個結果將除法算術與多項式在某點的求值聯繫起來。

餘式定理

定理。 對任意 $p \in \mathbb{R}[x]$ 及任意 $a \in \mathbb{R}$，$p$ 除以 $(x - a)$ 的餘式為常數 $p(a)$。

證明。 以 $(x - a)$（次數為 $1$）為除式應用除法演算法。由於餘式的次數必須小於 $1$，餘式是某個常數 $c$。寫出 $p(x) = (x-a)\,q(x) + c$ 並代入 $x = a$，得 $p(a) = 0 \cdot q(a) + c = c$。

餘式定理將求餘式轉化為函數求值——無需做長除法。例如，$p(x) = x^{10} - 3x + 2$ 除以 $(x - 1)$ 的餘式為 $p(1) = 1 - 3 + 2 = 0$。

因式定理

定理。 $(x - a) \mid p(x)$ 若且唯若 $p(a) = 0$。

證明。 由餘式定理，$(x-a)$ 整除 $p$ 若且唯若餘式 $p(a)$ 等於零。

滿足 $p(a) = 0$ 的值 $a$ 稱為 $p$ 的根（root）（或零點（zero））。因式定理使求根與因式分解成為同一枚硬幣的兩面：找到根 $a$ 立即得到因式 $(x-a)$。

根與重數

一旦確認 $a$ 是根，可以進一步問 $(x-a)$ 整除 $p$ 的「強度」。

定義。 $p$ 的根 $a$ 的重數（multiplicity） $m \geq 1$ 定義為：

$(x - a)^m \mid p(x) \quad \text{但} \quad (x - a)^{m+1} \nmid p(x).$

重數為 $1$ 的根稱為單根（simple root）；重數為 $2$ 稱為二重根（double root）；依此類推。重數決定了圖形在 $a$ 處的局部形狀：

• 奇數重數：圖形在 $a$ 處穿越 $x$ 軸（$m=1$ 時為橫截，$m \geq 3$ 時帶有反曲點形狀）。
• 偶數重數：圖形在 $a$ 處切觸 $x$ 軸而不穿越（反彈）。

例如，$p(x) = (x-2)^3(x+1)$ 在 $x = 2$ 有三重根，在 $x = -1$ 有單根。圖形在 $x = -1$ 處穿越，在 $x = 2$ 處以反曲形式切觸。

代數基本定理

以上定理刻畫了已知的個別根。以下定理告訴你根的總數。

定理（代數基本定理）。 每個具有實（或複）係數的非常數多項式，在 $\mathbb{C}$ 中至少有一個根。

此定理在此不予證明；其建立需要複分析或拓撲學，均超出當前的先備知識範圍。其威力在於可以反覆應用：給定次數為 $n \geq 1$ 的 $p$，該定理提供根 $z_1 \in \mathbb{C}$。由因式定理得 $p(x) = (x-z_1)\,p_1(x)$，其中 $\deg p_1 = n-1$。對 $p_1$ 再次應用定理，如此反覆，直到所有 $n$ 個因式都被取出。因此：

次數為 $n$（$n \geq 1$）的多項式，在 $\mathbb{C}$ 中計重數後恰好有 $n$ 個根。

在 $\mathbb{R}$ 上的因式分解

在 $\mathbb{R}$ 上，未必能找到 $n$ 個實根——例如 $x^2 + 1$ 就沒有實根。然而，實係數多項式的複根必定成共軛對出現：若 $\alpha + \beta i$（$\beta \neq 0$）是 $p \in \mathbb{R}[x]$ 的根，則 $\alpha - \beta i$ 也是。原因是：對等式 $p(\alpha + \beta i) = 0$ 取複共軛；由於所有係數均為實數，共軛運算與 $p$ 可交換，從而得 $p(\alpha - \beta i) = \overline{0} = 0$。

將一對共軛根對應的兩個一次因式相乘：

$(x - (\alpha + \beta i))(x - (\alpha - \beta i)) = x^2 - 2\alpha x + (\alpha^2 + \beta^2).$

這是一個判別式 $(2\alpha)^2 - 4(\alpha^2 + \beta^2) = -4\beta^2 < 0$ 的實係數二次式，因此沒有實根，在 $\mathbb{R}$ 上不可分解（irreducible）。

定理（實係數因式分解）。 每個次數 $n \geq 1$ 的 $p \in \mathbb{R}[x]$ 都能唯一分解為

$p(x) = a_n \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + b_j x + c_j)^{e_j},$

其中每個 $r_i \in \mathbb{R}$ 是重數為 $m_i$ 的實根，每個 $x^2 + b_j x + c_j$ 是來自共軛複數對的不可分解實係數二次式（$b_j^2 - 4c_j < 0$），且 $\displaystyle\sum_i m_i + 2\sum_j e_j = n$。

這一分解是部分分式分解的關鍵成分，在積分有理函式時會遇到。

超越多項式

多項式在加法、減法、乘法下封閉，但對除法不封閉：$1/x$ 不是多項式。自然的延伸是有理函式（rational functions） $\tfrac{p(x)}{q(x)}$（$q \not\equiv 0$）的類，可以用多項式長除法和上述實係數分解來分析。超越有理函式之後，需要真正全新的構造——指數函數（exponential functions）和對數函數（logarithmic functions）——它們無法由有限次算術運算建構；詳見指數函數。

摘要

• $\mathbb{R}$ 上次數為 $n$ 的多項式是 $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$，$a_n \neq 0$；特殊名稱：次數 $0$（常數式）、$1$（一次式）、$2$（二次式）、$3$（三次式）。
• 集合 $\mathbb{R}[x]$ 構成交換環：和的次數 $\leq \max(\deg p, \deg q)$；乘積的次數 $\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q$。
• 除法演算法：對任意非零 $d$，存在唯一的 $q$ 和 $r$ 使 $p = d\,q + r$ 且 $\deg r < \deg d$。
• 餘式定理：$p$ 除以 $(x - a)$ 的餘式為 $p(a)$。
• 因式定理：$(x - a) \mid p$ 若且唯若 $p(a) = 0$。
• 根 $a$ 的重數 $m$ 滿足 $(x-a)^m \mid p$ 但 $(x-a)^{m+1} \nmid p$；重數的奇偶決定圖形在 $a$ 處穿越還是切觸 $x$ 軸。
• 代數基本定理：每個非常數多項式至少有一個複根；次數為 $n$ 的多項式在 $\mathbb{C}$ 中計重數後恰好有 $n$ 個根。
• 在 $\mathbb{R}$ 上，每個多項式都能分解為一次因式 $(x - r_i)$（對應實根）與不可分解二次因式 $x^2 + b_j x + c_j$（$b_j^2 - 4c_j < 0$，對應共軛複數對）之積。