多項式関数

実数を使って書ける最も単純な非定数関数が多項式（polynomial）だ。加算と乗算の繰り返しだけを使い、割り算も平方根も無限過程も必要ない。この簡潔さは見かけ倒しではない：多項式演算は解析学の大部分を支えており、これをきちんと習得することで厳密な定義の練習にもなり、数学全体で使えるツールキットも得られる。

定義と用語

定義。 $\mathbb{R}$ 上の次数（degree） $n$ の**多項式（polynomial）**とは、

p(x) \;\coloneqq\; a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \tag{1}

の形をした関数 $p \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ のことをいう。ただし $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$、各 $a_k \in \mathbb{R}$、$a_n \neq 0$ とする。係数 $a_n$ を最高次係数（leading coefficient）、$a_0$ を定数項（constant term）、各 $a_k x^k$ を**項（term）**と呼ぶ。

低次の多項式には慣用的な名前がある：

次数 $n$	名称	例
$0$	定数	$p(x) = 7$
$1$	1次（線形）	$p(x) = 3x - 2$
$2$	2次	$p(x) = x^2 - 5x + 6$
$3$	3次	$p(x) = 2x^3 + x - 1$

零多項式 $p(x) = 0$（すべての係数が0）には次数を定めない——または $\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q$ という積の公式を成立させるために次数を $-\infty$ とする流儀もある。

直感的には、次数は原点から遠い場所での支配的な挙動を捉えている：$|x|$ が大きいとき $p(x)$ はおよそ $a_n x^n$ のように増大し、グラフは $x$ 軸と高々 $n$ 回しか交わらない。

多項式の演算

和とスカラー倍

多項式 $p(x) = \sum_{k=0}^{m} a_k x^k$ と $q(x) = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k$ の和 $p + q$ は係数 $a_k + b_k$ をもつ多項式だ（短い方は0で補う）。$\deg p \neq \deg q$ のとき和の次数は $\max(\deg p, \deg q)$；等しいときは最高次の項が消える可能性があるので $\deg(p+q) \leq \deg p$。

$p$ のすべての係数に定数 $c \in \mathbb{R}$ を掛けたものがスカラー倍 $c \cdot p$ であり、$c \neq 0$ なら次数は $p$ と同じだ。

積

$p$ の各項を $q$ の各項に分配することで積が得られる：

$(p \cdot q)(x) \;=\; \sum_{k=0}^{m+n}\!\left(\sum_{\substack{i+j=k \\ 0 \leq i \leq m,\; 0 \leq j \leq n}} a_i b_j\right) x^k.$

最高次の項は $a_m b_n x^{m+n}$ だ。$a_m \neq 0$ かつ $b_n \neq 0$ だからこの項は非零なので、

$\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q.$

環 $\mathbb{R}[x]$

$\mathbb{R}$ 上のすべての多項式の集まりを上の加算と乗算を備えて $\mathbb{R}[x]$ と書き、これは**単位元をもつ可換環（commutative ring with unity）**をなす：加算と乗算はそれぞれ結合的かつ可換、乗算は加算に分配的、零多項式が加算の単位元、定数多項式 $1$ が乗算の単位元だ。整数環 $\mathbb{Z}$ との類比は深い——$\mathbb{Z}$ と同様に余りつき割り算が可能であり、環の中ですべての元が乗算逆元をもつわけではない。

多項式の割り算

除法アルゴリズム

整数 $a$ が $a = d \cdot q + r$（$0 \leq r < d$）と書けるのと同様に、多項式の組についても一意な余りつき割り算が成立する。

定理（多項式の除法アルゴリズム）。 $p, d \in \mathbb{R}[x]$、$d \neq 0$ とする。このとき

p(x) = d(x)\,q(x) + r(x), \qquad \deg r < \deg d \tag{2}

を満たす多項式 $q$（商（quotient））と $r$（余り（remainder））が一意に存在する。

$r = 0$ のとき $d$ は $p$ を割り切るといい、$d \mid p$ と書く。

証明は構成的だ：各ステップで現在の被除式の最高次の項を $d$ の適切な倍数で消し、残りに同じ操作を繰り返す。残りの次数は毎ステップ厳密に減るので有限回で終了する。

例として $p(x) = x^3 - 2x + 1$ を $d(x) = x - 1$ で割る：

1. $x^3 / x = x^2$。$x^2(x-1) = x^3 - x^2$ を引き、$x^2 - 2x + 1$ が残る。
2. $x^2 / x = x$。$x(x-1) = x^2 - x$ を引き、$-x + 1$ が残る。
3. $-x / x = -1$。$-1 \cdot (x-1) = -x+1$ を引き、$0$ が残る。

よって $x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) + 0$ であり、$(x-1) \mid (x^3 - 2x + 1)$ が確認できる。

剰余定理と因数定理

この2つの結果は割り算の算術とある点での多項式の値を結びつける。

剰余定理

定理。 $p \in \mathbb{R}[x]$ と任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して、$p$ を $(x - a)$ で割ったときの余りは定数 $p(a)$ だ。

証明。 除法アルゴリズムを除式 $(x - a)$（次数1）に適用する。余りの次数は1未満でなければならないから、ある定数 $c$ になる。$p(x) = (x-a)\,q(x) + c$ に $x = a$ を代入すると $p(a) = 0 \cdot q(a) + c = c$。

剰余定理により余り計算が関数評価に変わる——長い割り算は不要だ。例えば $p(x) = x^{10} - 3x + 2$ を $(x - 1)$ で割った余りは $p(1) = 1 - 3 + 2 = 0$。

因数定理

定理。 $(x - a) \mid p(x)$ であることと $p(a) = 0$ は同値だ。

証明。 剰余定理より $(x-a)$ が $p$ を割り切るのは余り $p(a)$ が零のときに限る。

$p(a) = 0$ を満たす $a$ を $p$ の根（root）（または零点（zero））という。因数定理は根を見つけることと因数分解することを表裏一体にする：根 $a$ が見つかれば直ちに因子 $(x-a)$ が得られる。

根と重複度

$a$ が根とわかれば、$(x-a)$ が $p$ をどれだけ強く割り切るかを問うことができる。

定義。 $p$ の根 $a$ の重複度（multiplicity） $m \geq 1$ とは、

$(x - a)^m \mid p(x) \quad \text{かつ} \quad (x - a)^{m+1} \nmid p(x)$

を満たす最大の正整数のことをいう。

重複度 $1$ の根を単純根（simple root）、重複度 $2$ を**二重根（double root）**などと呼ぶ。重複度は $a$ でのグラフの局所形状を決める：

• 奇数の重複度：グラフは $a$ で $x$ 軸を横断する（$m=1$ では通常の交差、$m \geq 3$ では変曲点型）。
• 偶数の重複度：グラフは $a$ で $x$ 軸に接して引き返す。

例えば $p(x) = (x-2)^3(x+1)$ は $x = 2$ を三重根、$x = -1$ を単純根にもつ。グラフは $x = -1$ で横断し、$x = 2$ で変曲点型の接触をする。

代数学の基本定理

上の定理群は既知の個々の根の性質を述べるものだ。次の定理は根の総数を与える。

定理（代数学の基本定理）。 実数（または複素数）係数の非定数多項式はすべて $\mathbb{C}$ に少なくとも一つの根をもつ。

これは証明なしで述べる——複素解析またはトポロジーが必要であり、現在の前提条件の範囲を超えている。この定理の力は繰り返し適用にある：次数 $n \geq 1$ の $p$ に対して定理は根 $z_1 \in \mathbb{C}$ を保証し、因数定理が $p(x) = (x-z_1)\,p_1(x)$（$\deg p_1 = n-1$）を与える。$p_1$ に定理を適用しこれを繰り返すと $n$ 個の因子がすべて出る。したがって：

次数 $n$ の多項式（$n \geq 1$）は重複度込みで $\mathbb{C}$ にちょうど $n$ 個の根をもつ。

$\mathbb{R}$ 上の因数分解

$\mathbb{R}$ 上では必ずしも $n$ 個の実根があるとは限らない——例えば $x^2 + 1$ は実根をもたない。しかし実数係数多項式の複素根は常に**共役ペア（conjugate pair）**で現れる：$\alpha + \beta i$（$\beta \neq 0$）が $p \in \mathbb{R}[x]$ の根ならば $\alpha - \beta i$ も根だ。これは $p(\alpha + \beta i) = 0$ を共役をとることで確認できる——すべての係数が実数だから共役操作は $p$ と可換であり、$p(\alpha - \beta i) = \overline{0} = 0$。

共役ペアの2つの1次因子を掛け合わせると：

$(x - (\alpha + \beta i))(x - (\alpha - \beta i)) = x^2 - 2\alpha x + (\alpha^2 + \beta^2).$

これは判別式 $(2\alpha)^2 - 4(\alpha^2 + \beta^2) = -4\beta^2 < 0$ をもつ実数係数2次式であり、実根をもたず $\mathbb{R}$ 上**既約（irreducible）**だ。

定理（実数上の因数分解定理）。 次数 $n \geq 1$ の任意の $p \in \mathbb{R}[x]$ は一意に

$p(x) = a_n \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + b_j x + c_j)^{e_j}$

と因数分解される。ここで各 $r_i \in \mathbb{R}$ は重複度 $m_i$ の実根、各 $x^2 + b_j x + c_j$ は共役複素ペアから生まれた既約実2次式（$b_j^2 - 4c_j < 0$）であり、$\displaystyle\sum_i m_i + 2\sum_j e_j = n$ が成立する。

この因数分解は有理関数を積分するときに現れる部分分数分解の鍵となる。

多項式の先へ

多項式は加算・減算・乗算には閉じているが除算は閉じていない：$1/x$ は多項式ではない。自然な拡張は有理関数（rational function） $\tfrac{p(x)}{q(x)}$（$q \not\equiv 0$）の族であり、多項式の長い割り算と実数上の因数分解定理を使って解析できる。有理関数の先には、有限回の算術演算では構成できない本質的に新しい構築が必要になる——指数関数だ。

まとめ

• $\mathbb{R}$ 上の次数 $n$ の多項式は $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$（$a_n \neq 0$）；次数0（定数）、1（1次）、2（2次）、3（3次）が標準的な名前をもつ。
• $\mathbb{R}[x]$ は**可換環（commutative ring）**をなす：和の次数は $\leq \max(\deg p, \deg q)$；積は $\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q$。
• 除法アルゴリズム：任意の非零 $d$ に対して、$p = d\,q + r$（$\deg r < \deg d$）を満たす一意な $q$ と $r$ が存在する。
• 剰余定理：$p$ を $(x - a)$ で割った余りは $p(a)$。
• 因数定理：$(x - a) \mid p$ であることと $p(a) = 0$ は同値。
• 根 $a$ の重複度（multiplicity） $m$ は $(x-a)^m \mid p$ かつ $(x-a)^{m+1} \nmid p$ で定義され、その奇偶によってグラフが横断するか接するかが決まる。
• 代数学の基本定理：非定数多項式は $\mathbb{C}$ に少なくとも一つの根をもつ；次数 $n$ の多項式は重複度込みで $\mathbb{C}$ にちょうど $n$ 個の根をもつ。
• $\mathbb{R}$ 上では、すべての多項式が実根に対応する1次因子 $(x - r_i)$ と共役複素ペアに対応する既約2次因子 $x^2 + b_j x + c_j$（$b_j^2 - 4c_j < 0$）に因数分解される。