解析学

サブカテゴリ

• 関数
• 集合論

チェックポイント

• 開球と閉球 Basis 距離空間における開球と閉球を導入する。直感的な「近い点」という概念を距離によって正確に表現したもので、解析学のほぼすべての定義の根幹をなす。
• e（自然対数の底） Basis オイラー数 e ≈ 2.71828 を複利成長の極限として定義し、逆数の階乗の無限級数に等しいことを示し、無理数であることを証明する。
• 数列の極限 Basis 距離空間における数列の極限を定義し、極限の一意性を証明するとともに、近傍による同値な特徴づけを示す。
• 近傍 Basis 距離空間における点の近傍を定義し、開球をより柔軟な「半径に依存しない近さの言語」へと一般化する方法を示す。
• 実数（有理数の閉包による構成） Basis 有理数の「穴」を埋めることで実数を定義する。有理数のコーシー列を同値類でまとめることで ℝ を構成し、Q が稠密に埋め込まれた唯一の完備順序体であることを示す。
• 上限と下限 Basis ℝ の部分集合の上限（最小上界）と下限（最大下界）を定義し、上限の公理として ℝ の完備性を確立し、アルキメデスの性質を含む主要な帰結を導く。