関数

チェックポイント

• 初等関数 Basis 多項式・有理関数・代数的関数・指数関数・対数関数・三角関数・逆三角関数・双曲線関数からなる初等関数族全体を概観し、有限回の算術演算と合成によって「初等関数」が何を意味するかを厳密に定義する。
• 指数関数 Basis べき級数 $\\sum x^k/k!$ を通じて指数関数 $\\exp(x)$ を定義し、コーシー積と二項定理を使って加法公式 $\\exp(x+y) = \\exp(x)\\exp(y)$ を証明する。$\\exp$ が厳密に正・厳密に増加・自身の導関数であり $(0,\\infty)$ への全射であることを確立し、一般の底 $b^x$ の定義と $e$ が自然な底である理由を示す。
• 双曲線関数とその逆関数 Basis 指数関数から sinh、cosh、tanh を定義し、基本恒等式・加法公式・導関数を確立した後、逆双曲線関数を対数による閉じた形の式として導く。
• 逆三角関数 Basis 各三角関数を単調になる区間に制限することで6つの逆三角関数を定義し、逆関数定理と $\\arcsin x + \\arccos x = \\pi/2$ などの恒等式を用いてそれらの導関数を導く。
• 対数 Basis 自然対数を指数関数の逆関数として定義し、積の法則・べきの法則・導関数という主要な性質を導く。さらに任意の底への指数関数と対数への枠組みに拡張する。
• 多項式関数 Basis 実数上の多項式関数を定義し、環 $\\mathbb{R}[x]$ の代数を展開する。除法アルゴリズムと剰余定理・因数定理を確立し、根を重複度で分類し、代数学の基本定理を述べ、すべての実多項式が1次因子と既約2次因子に分解されることを示す。
• 三角関数 Basis 正弦と余弦をべき級数として厳密に定義し、その導関数・ピタゴラスの恒等式・加法定理を導く。余弦の最小正零点として $\\pi$ を解析的に定義し、三角関数の全系とその導関数を紹介する。