初等関数 — Project Hematite

前の各チェックポイントで、古典解析学の主要な関数を一つずつ見てきた：多項式、指数関数、対数、三角関数、そしてそれらの逆関数。材料が揃った今、一歩引いて問うてみよう：これらの関数には何が共通しているのか？答えは**初等関数（elementary function）**という概念で捉えられる——上記の材料の有限回の組み合わせによって*閉じた形（closed form）*で表せる関数だ。

構成要素

初等関数は5つの族を基礎とする。

多項式と有理関数

多項式（polynomial） $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ は恒等関数 $x$ と実数定数の加算と乗算だけを使う。多項式は最も単純な初等関数だ——多項式関数を参照。

**有理関数（rational function）**は2つの多項式の比 $\tfrac{p(x)}{q(x)}$ （ $q \not\equiv 0$ ）だ。 $q(x) \neq 0$ となる点では完全に well-defined であり、多項式のすべての代数的構造を受け継ぐ。

代数的関数

関数 $f$ が**代数的（algebraic）**とは、多項式係数をもつ $f$ と $x$ の多項式方程式を満たすことをいう——すなわち多項式 $p_0, \ldots, p_n$ （すべて零でないもの）が存在して

p_n(x)f(x)^n + p_{n-1}(x)\,f(x)^{n-1} + \cdots + p_0(x) = 0 \tag{1}

が成り立つことだ。

すべての多項式とすべての有理関数は代数的だ（ $(1)$ で $n = 1$ ととればよい）。より本質的な例として、 $\sqrt{x}$ , $\sqrt[3]{x-1}$ , $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ のような $n$ 乗根や入れ子になった根号は代数的だ——これらは有理関数 $g$ を使って $f^n = g(x)$ という方程式を満たす。

代数的でない関数を**超越的（transcendental）**という。

指数関数と対数関数

指数関数（exponential function） $\exp(x) = e^x$ と自然対数 $\ln x$ は超越的な初等関数であり、それぞれ指数関数と対数で展開した。一般の指数関数 $b^x = \exp(x \ln b)$ と対数 $\log_b x = \tfrac{\ln x}{\ln b}$ も含まれる。

三角関数と逆三角関数

$\sin$ , $\cos$ , $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ , $\csc$ とその逆関数 $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\text{arccot}$ , $\text{arcsec}$ , $\text{arccsc}$ はすべて超越的な初等関数であり、三角関数と逆三角関数で紹介した。

双曲線関数と逆双曲線関数

$\sinh$ , $\cosh$ , $\tanh$ , $\text{coth}$ , $\text{sech}$ , $\text{csch}$ とその逆関数 $\text{arsinh}$ , $\text{arcosh}$ , $\text{artanh}$ , $\ldots$ は初等的だ——双曲線関数とその逆関数で示したとおり、指数関数と対数を使って直接定義されるからだ。

構成要素を組み合わせる：定義

上の5つの族が原子だ。次の2つの操作を使ってすべての初等関数を構築する：

算術演算： 初等的な $f$ と $g$ に対して、 $f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ , $f/g$ （ $g \neq 0$ のとき）は初等的だ。
合成（composition）： $f$ と $g$ が初等的で $g$ の値域が $f$ の定義域に含まれるとき、 $x \mapsto f(g(x))$ は初等的だ。

定義。 **実初等関数（real elementary function）**とは、実数定数と恒等関数 $x \mapsto x$ から出発して、上の5つの族の有限回の算術演算と合成によって得られる任意の関数のことをいう。

実用的には、初等関数とは標準的な関数記号 $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $\ldots$ と代数的演算を使って公式として書ける関数——有限の深さでいくら入れ子になってもよい——のことだ。

例の一覧

次はすべて初等関数だ：

関数	種類
$3x^4 - 2x + 7$	多項式
$\dfrac{x^2 - 1}{x^3 + x}$	有理関数
$\sqrt{x^2 + 1}$	代数的（ $f^2 = x^2+1$ を満たす）
$e^{x^2}$	超越的——多項式を指数にもつ指数関数
$\ln(\sin x)$	超越的——正弦との合成の対数
$\arctan(e^x)$	超越的——指数関数との合成の逆三角関数
$\cosh(\sqrt{x})$	超越的——代数的関数との合成の双曲線関数
$x^x = e^{x \ln x}$	超越的——対数との合成の指数関数
$\sin^2 x + \cos^2 x$	初等的（定数 $1$ に等しいが、形式的には初等的）

$x^x$ は固定した指数をもつべき関数でも固定した底をもつ指数関数でもないが、公式 $x^x = \exp(x \ln x)$ により初等的な関数のクラスに明確に属する。

代数的関数と超越的関数

上の表が2つの大きなクラスを具体化してくれる。

代数的関数は $\mathbb{R}(x)$ 上の多項式方程式 $(1)$ を満たす。代数的閉体上では、代数的関数は有理関数を係数にもつ多項式の根として正確に特徴づけられる。代数的関数の合成や算術的組み合わせは再び代数的だ。

超越的関数は初等的だが代数的でない。指数関数 $e^x$ 、対数 $\ln x$ 、すべての三角関数と双曲線関数は超越的だ： $(1)$ の形のいかなる多項式関係も成り立たない（超越性を厳密に証明するにはリウヴィルの定理または高度な代数が必要であり、現在の前提条件の範囲を超える）。

初等関数の微分

すべての初等関数は定義されている点で微分可能であり、その導関数も再び初等的だ。これは連鎖律・積の微分法・商の微分法と、各構成要素の既知の導関数から従う：

関数	導関数
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$
$\sinh x$	$\cosh x$
$\text{arsinh}\, x$	$1/\sqrt{x^2+1}$

連鎖律と積の微分法を組み合わせることで、任意の初等関数を有限回の機械的な手続きで微分できる。導関数は常に初等的だ。

非初等関数

解析学で出会うすべての関数が初等的であるわけではない。いくつかの重要な関数は積分または微分方程式の解として現れ、初等的な閉じた形をもたないことが証明されている：

誤差関数（error function） $\operatorname{erf}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ ——ガウス関数の積分。被積分関数 $e^{-t^2}$ は初等的だが、初等的な原始関数が存在しない。
ガンマ関数（gamma function） $\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt$ ——階乗の連続的な拡張 $n! = \Gamma(n+1)$ 。
指数積分（exponential integral） $\operatorname{Ei}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x \dfrac{e^t}{t}\,dt$ および関連する対数積分。
ベッセル関数（Bessel functions） $J_n(x)$ ——ベッセルの微分方程式の解であり、円柱対称のある物理問題で現れる。

積分が初等的な原始関数をもつかどうかの正確な基準はリウヴィルの定理（Liouville’s theorem）（微分代数）によって与えられる。これは essential レベルの内容だ。

まとめ

初等関数（elementary function）とは、実数定数と恒等関数から出発して、5つの族——多項式・代数的関数・指数関数・対数関数・三角関数と逆三角関数・双曲線関数と逆双曲線関数——の有限回の算術演算と合成によって構成される関数だ。
代数的関数は $f$ と $x$ の多項式方程式 $(1)$ を満たす；多項式・有理関数・ $n$ 乗根が含まれる。
超越的初等関数 $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ およびその仲間は初等的だが、いかなる多項式方程式も満たさない。
すべての初等関数は定義域上で微分可能であり、その導関数も初等的だ。
$\operatorname{erf}(x)$ , $\Gamma(x)$ , ベッセル関数などの重要な関数は非初等的だ——リウヴィルの定理の保証するとおり、5つの族を使った有限回の公式では表せない。