指数関数

$n$ が正整数のとき $a^n$ の意味はわかっている——$a$ を $n$ 回掛け合わせるだけだ。これを負の整数（$a^{-n} = 1/a^n$）や有理数の指数（$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$）に拡張することもできる。では $2^{\sqrt{2}}$ や $e^{\pi}$ はどんな意味をもつべきか？無理数の指数は「1回ずつ掛けていく」操作に落とし込めないため、まったく別のアプローチが必要になる。指数関数（exponential function）がその答えだ——明示的に収束するべき級数を使うことで、すべての実数 $x$ に対して $a^x$ の値を正確に定義できる。

整数べきからすべての実数べきへ

底 $a > 0$ を固定すれば整数べきは明確であり、有理数べき $a^{p/q} \coloneqq (\sqrt[q]{a})^p$ は見慣れた指数法則 $a^{r+s} = a^r a^s$ および $(a^r)^s = a^{rs}$ を満たす。

無理数の $x$ への拡張はより難しい。実数において $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密だから、すべての無理数は有理数列の極限として得られる。そこで有理数列 $r_n \to x$ を選んで $a^x \coloneqq \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$ と宣言したいところだが、この極限が存在し選んだ有理数列によらないことを証明するには $t \mapsto a^t$ の連続性が必要になり、それはまだ確立されていない。

以下のべき級数による定義はこの循環を完全に回避する——最初から $x \in \mathbb{R}$ のすべての値に対して有効な、明示的な公式を与えるのだ。

べき級数による定義

定義。 指数関数 $\exp \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をべき級数

$$\exp(x) \coloneqq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \tag{1}$$

で定義する。

$(1)$ の部分和は $x$ の多項式であり（多項式関数）、$\exp$ はその無限列の極限という意味で定義されている。

絶対収束

$(1)$ を使う前に、すべての実数 $x$ に対して収束することを確認しなければならない。**比判定法（ratio test）**を適用する：連続する項の比の絶対値は

$$\left\lvert\frac{x^{k+1}/(k+1)!}{x^k/k!}\right\rvert = \frac{|x|}{k+1}$$

固定した $x \in \mathbb{R}$ に対してこの比は $k \to \infty$ のとき $0$ に収束する（分母は限りなく増大する）。$0 < 1$ だから比判定法により $x \in \mathbb{R}$ のすべての値で絶対収束が保証される。

絶対収束は単なる技術的条件ではない：級数の項を自由に並び替えたり再グループしたりする許可を与えてくれる——この許可を次のセクションで直接使う。

$e$ との一致

最も単純な2点での評価を確認すると、$\exp$ がネイピア数 $e$で導入した定数 $e$ と一致することがわかる：

• $x = 0$ のとき： $\;\exp(0) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{0^k}{k!} = 1$（慣例として $0^0 \coloneqq 1$）。
• $x = 1$ のとき： $\;\exp(1) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots = e,$

ここで最後の等式はネイピア数 $e$で確立した $e$ の級数表示だ。

$\exp$ は $0 \mapsto 1$、$1 \mapsto e$ と対応させ、$e^x$ を $\exp(x)$ の代替記法として使うことは $e$ のすべての整数べきと整合する。

加法公式

$\exp$ の最も重要な代数的性質は：

$$\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y) \quad \text{すべての } x, y \in \mathbb{R} \text{ に対して。} \tag{2}$$

証明。 2つの絶対収束する級数を**コーシー積（Cauchy product）**で掛け合わせる：

$$\exp(x)\,\exp(y) = \left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!}\right)\!\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^k}{k!}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}\cdot\frac{y^{n-j}}{(n-j)!}.$$

内側の和から $\tfrac{1}{n!}$ を括り出し、**二項定理（binomial theorem）**を適用する：

$$\sum_{j=0}^{n}\frac{x^j\,y^{n-j}}{j!\,(n-j)!} = \frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^j y^{n-j} = \frac{(x+y)^n}{n!}$$

よって $\exp(x)\,\exp(y) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x+y)^n}{n!} = \exp(x+y)$。

式 $(2)$ は $\exp$ が加法を乗法に変換することを示している——これはまさに指数関数に期待される振る舞いだ。$y = 0$ と置けば $\exp(x) \cdot 1 = \exp(x)$ が回収でき、$y = -x$ と置けば次のセクションで使う重要な帰結が得られる。

厳密な正値性

主張。 すべての $x \in \mathbb{R}$ に対して $\exp(x) > 0$。

証明。 $(2)$ で $y = -x$ と置くと $\exp(x)\,\exp(-x) = \exp(0) = 1$。よって $\exp(x)$ と $\exp(-x)$ は互いに正の逆数になっており、どちらも零になれない。$\exp(0) = 1 > 0$ であり $\exp$ は連続（収束するべき級数として与えられているから）なので、中間値定理によりいたるところで正であり続ける。

導関数

定理。 $\dfrac{d}{dx}\exp(x) = \exp(x)$。

証明。 $(1)$ を項ごとに微分する——$\mathbb{R}$ 全体で絶対収束しているので正当化される：

$$\frac{d}{dx}\exp(x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\,x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!} = \exp(x),$$

最後のステップで $j = k - 1$ と置き直した。

$\exp$ はしたがって自身の導関数だ。これが $\exp$ の定義的な動的性質であり：$\exp$ はその現在の値にちょうど比例する速さで増大し、比例定数は $1$ だ。

厳密な単調性

$\exp(x) > 0$ がすべての $x$ で成り立つから、導関数 $(\exp)'(x) = \exp(x)$ は常に正だ。$\mathbb{R}$ 全体で導関数が厳密に正な関数は**狭義単調増加（strictly increasing）**になる：$x_1 < x_2$ ならば $\exp(x_1) < \exp(x_2)$。

値域と極限の振る舞い

$\exp$ の値域は開区間 $(0, \infty)$ だ。

• $x \to +\infty$ のとき： $k = 1$ の項だけでも $\exp(x) \geq x$（$x \geq 0$ のとき）が成り立つので $\exp(x) \to +\infty$。
• $x \to -\infty$ のとき： $\exp(x)\,\exp(-x) = 1$ から $\exp(x) = 1/\exp(-x)$ が得られる。$-x \to +\infty$ なので $\exp(-x) \to +\infty$ となり $\exp(x) \to 0^+$。

厳密な正値性とこれらの極限を合わせると、$\exp$ は $(0, \infty)$ への全射（surjection）であることがわかる：任意の $y > 0$ に対して、連続かつ狭義単調増加な $\exp$ に中間値定理を適用すれば $\exp(x) = y$ を満たす $x$ が一意に存在する。その唯一の $x$ が自然対数 $\ln y$ であり、その性質は対数で展開する。

一般の底の指数関数

$\ln$ が使えるようになれば、任意の正の底への指数関数を統一的に定義できる。$b > 0$、$b \neq 1$ に対して

$$b^x \;\coloneqq\; \exp(x \ln b) \tag{3}$$

と定める。加法公式 $(2)$ を使えば見慣れた指数法則が直ちに従う：$b^{x+y} = \exp((x+y)\ln b) = \exp(x\ln b)\,\exp(y\ln b) = b^x b^y$、同様に $(b^x)^y = b^{xy}$。

定義 $(3)$ は無理数べきも事後的に確定させる：$2^{\sqrt{2}} = \exp(\sqrt{2}\ln 2)$ であり、これは級数 $(1)$ で与えられた完全に well-defined な実数だ。

$\ln$ の構成と対数関数の完全な理論は対数に譲る。

なぜ $e$ が自然な底か

連鎖律を使って $(3)$ を微分すると：

$$\frac{d}{dx}b^x = \frac{d}{dx}\exp(x \ln b) = \ln b \cdot \exp(x \ln b) = \ln b \cdot b^x.$$

$b^x$ の導関数は $b^x$ に定数 $\ln b$ を掛けたものだ。この定数が $1$ に等しくなるのは $b = e$ のときだけ——なぜなら $\ln e = 1$ だからだ。$b \neq e$ の他のすべての底では、微分するたびに避けられない乗数 $\ln b \neq 1$ が現れる。

これが $e$ が**自然な底（natural base）**である理由だ：指数関数が余分な定数なしに自身の導関数になる唯一の底だ。$b \neq e$ での $b^x$ を含む式はいつでも $\exp(x \ln b)$ と書き直せ、$\ln b$ の役割が明示されることで $e$ が真に基本的な選択であることが確認できる。

まとめ

• 指数関数は $\exp(x) \coloneqq \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}$ で定義され、比判定法（連続する項の比は $|x|/(k+1) \to 0$）によりすべての $x \in \mathbb{R}$ で絶対収束する。
• $\exp(0) = 1$ および $\exp(1) = e$（$e$ の級数定義と一致）。
• 加法公式：$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$（コーシー積と二項定理を使って証明）。
• $\exp(x) > 0$（$\exp(x)\exp(-x) = 1$ が零を排除）。
• $(\exp)'(x) = \exp(x)$：この関数は自身の導関数であり、したがって狭義単調増加。
• $\exp$ の値域は $(0, \infty)$；$x \to +\infty$ のとき $\exp(x) \to +\infty$、$x \to -\infty$ のとき $\exp(x) \to 0$。
• 一般の指数関数は $b^x \coloneqq \exp(x \ln b)$（$b > 0$, $b \neq 1$）で定義され、その導関数は $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$。
• 自然な底 $e$ は $(b^x)' = b^x$ が余分な定数なしに成立する唯一の底だ。