対数

Basis
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前提知識

指数関数では exp⁡:R→(0,∞)\exp : \mathbb{R} \to (0, \infty) が狭義単調増加かつ (0,∞)(0, \infty) への全射であることを示した。狭義単調増加な関数は自動的に単射だから、exp⁡\exp は全単射（bijection）になる——つまり一意な逆関数をもつ。その逆関数が解析学全体を通じて最も有用な関数の一つだ。

自然対数

定義。 自然対数（natural logarithm） ln⁡:(0,∞)→R\ln : (0, \infty) \to \mathbb{R} を exp⁡\exp の逆関数として定義する。すなわち：

ln⁡(exp⁡(x))=xすべての x∈R に対して，(1)\ln(\exp(x)) = x \qquad \text{すべての } x \in \mathbb{R} \text{ に対して，} \tag{1} exp⁡(ln⁡(y))=yすべての y>0 に対して．(2)\exp(\ln(y)) = y \qquad \text{すべての } y > 0 \text{ に対して．} \tag{2}

直感的には、ln⁡(y)\ln(y) は「ee を何乗すれば yy が得られるか？」という問いに答える。exp⁡\exp が R\mathbb{R} を (0,∞)(0, \infty) に全単射させるから、この問いは常に一意な答えをもつ。

すぐわかる値

定義と exp⁡\exp について知っていることから：

  • ln⁡(1)=0\ln(1) = 0（exp⁡(0)=1\exp(0) = 1 より）。
  • ln⁡(e)=1\ln(e) = 1（exp⁡(1)=e\exp(1) = e より）。
  • 任意の n∈Zn \in \mathbb{Z} に対して ln⁡(en)=n\ln(e^n) = n（exp⁡(n)=en\exp(n) = e^n より）。

これら3点は暗記する価値がある——電卓なしに ln⁡\ln について素早く推論できるようになる。

対数の積の法則

定理（積の法則）。 すべての x,y>0x, y > 0 に対して：

ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡y.(3)\ln(xy) = \ln x + \ln y. \tag{3}

証明。 a≔ln⁡xa \coloneqq \ln x、b≔ln⁡yb \coloneqq \ln y と置く——すなわち exp⁡(a)=x\exp(a) = x、exp⁡(b)=y\exp(b) = y。指数関数の加法公式 exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b) より：

xy=exp⁡(a)⋅exp⁡(b)=exp⁡(a+b).xy = \exp(a) \cdot \exp(b) = \exp(a + b).

両辺に ln⁡\ln を適用し恒等式 (1)(1) を使うと：

ln⁡(xy)=ln⁡(exp⁡(a+b))=a+b=ln⁡x+ln⁡y.□\ln(xy) = \ln(\exp(a + b)) = a + b = \ln x + \ln y. \qquad \square

直感的には ln⁡\ln は乗算を加算に変換する——電卓が登場するずっと前に対数表を算術に欠かせないものにした、まさにその性質だ。

(3)(3) から2つの系が直ちに得られる。y=1/xy = 1/x と置けば ln⁡(1/x)=−ln⁡x\ln(1/x) = -\ln x。y=xy = x と置けば ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^2) = 2\ln x。実はすべての実数指数に対して完全なべきの法則が成立する。

対数のべきの法則

定理（べきの法則）。 すべての x>0x > 0 と r∈Rr \in \mathbb{R} に対して：

ln⁡(xr)=rln⁡x.(4)\ln(x^r) = r\ln x. \tag{4}

証明の概略。 r=n∈Nr = n \in \mathbb{N} の場合、積の法則 (3)(3) を繰り返し適用する：

ln⁡(xn)=ln⁡(x⋅x⋯x⏟n 個)=ln⁡x+ln⁡x+⋯+ln⁡x⏟n 個=nln⁡x.\ln(x^n) = \ln(\underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n\text{ 個}}) = \underbrace{\ln x + \ln x + \cdots + \ln x}_{n\text{ 個}} = n\ln x.

r=p/qr = p/q（q∈N+q \in \mathbb{N}^+）の有理数の場合、q⋅ln⁡(xp/q)=ln⁡((xp/q)q)=ln⁡(xp)=pln⁡xq \cdot \ln(x^{p/q}) = \ln((x^{p/q})^q) = \ln(x^p) = p\ln x より ln⁡(xp/q)=pqln⁡x\ln(x^{p/q}) = \tfrac{p}{q}\ln x。任意の実数 rr への拡張は ln⁡\ln の連続性による。□\square

べきの法則 (4)(4) は指数計算を乗算に変換する——(3)(3) が乗算を加算に変換したのと同様に。

ln⁡\ln の導関数

定理。 すべての x>0x > 0 に対して：

ddxln⁡x=1x.(5)\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}. \tag{5}

証明。 y=ln⁡xy = \ln x と置く——すなわち x=exp⁡(y)x = \exp(y)。xx に関して両辺を**逆関数定理（inverse function theorem）**を使って微分する：

1=ddxexp⁡(y)=exp⁡(y)⋅dydx=x⋅dydx.1 = \frac{d}{dx}\exp(y) = \exp(y) \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{dy}{dx}.

dydx\frac{dy}{dx} について解くと：

dydx=1x.□\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. \qquad \square

これは印象的な結果だ：ln⁡\ln のグラフの点 xx での傾きは単純に 1/x1/x であり、余分な乗数も関数もない。

単調性と境界での振る舞い

(ln⁡x)′=1/x>0(\ln x)' = 1/x > 0（x>0x > 0 のとき）だから、ln⁡\ln は定義域 (0,∞)(0, \infty) 全体で狭義単調増加だ。

2つの境界点での振る舞いは exp⁡\exp との関係から直接従う：

lim⁡x→∞ln⁡x=+∞,lim⁡x→0+ln⁡x=−∞.\lim_{x \to \infty} \ln x = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty.

最初の極限は t→+∞t \to +\infty のとき exp⁡(t)→+∞\exp(t) \to +\infty だからその逆関数も限りなく増大することによる。2番目は t→−∞t \to -\infty のとき exp⁡(t)→0\exp(t) \to 0 による。合わせて ln⁡\ln が (0,∞)(0, \infty) から R\mathbb{R} 全体への全単射であることが確認できる——これは exp⁡\exp が R\mathbb{R} を (0,∞)(0, \infty) に全単射させるという事実の鏡像だ。

積分としての自然対数

ln⁡\ln に到達する第2の方法があり、こちらは導関数の公式 (5)(5) を最初から透明にしてくれる。次を定義する：

L(x)≔∫1x1t dt(x>0).(6)L(x) \coloneqq \int_1^x \frac{1}{t}\,dt \qquad (x > 0). \tag{6}

微積分学の基本定理より L′(x)=1/xL'(x) = 1/x かつ L(1)=0L(1) = 0。LL が ln⁡\ln と同じ積の法則を満たすことを検証でき（積分の変数変換による）、2つの連続関数が x=1x = 1 で一致し同じ導関数をもつから、両者は同一だ：

ln⁡x=∫1x1t dt.\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt.

この積分表示を ln⁡\ln の定義として採用し、∫1e1t dt=1\int_1^e \frac{1}{t}\,dt = 1 を満たす唯一の e>0e > 0 としてネイピア数を回収する流儀もある。

対数を通じた一般の指数関数

ln⁡\ln が使えるようになれば、任意の底 b>0b > 0 と任意の実数指数 x∈Rx \in \mathbb{R}（無理数を含む）に対して bxb^x を定義できる。

定義。 b>0b > 0 に対して：

bx  ≔  exp⁡(xln⁡b).(7)b^x \;\coloneqq\; \exp(x \ln b). \tag{7}

xx が有理数 p/qp/q のとき、これは bp/qb^{p/q} の通常の算術的な意味と一致する（べきの法則 (4)(4) を使って確認できる）。定義 (7)(7) はこれをすべての実数指数にシームレスに拡張する。

導関数。 連鎖律で (7)(7) を微分すると：

ddx bx=exp⁡(xln⁡b)⋅ln⁡b=(ln⁡b) bx.\frac{d}{dx}\,b^x = \exp(x \ln b) \cdot \ln b = (\ln b)\,b^x.

余分な因子 ln⁡b\ln b が bxb^x と exe^x を区別するものだ：b=eb = e のとき ln⁡e=1\ln e = 1 となって因子が消える——これがまさに ee が「自然な」底である理由だ。

任意の底への対数

定義。 b>0b > 0、b≠1b \neq 1 として、底 bb の対数を：

log⁡b(x)  ≔  ln⁡xln⁡b(x>0)(8)\log_b(x) \;\coloneqq\; \frac{\ln x}{\ln b} \qquad (x > 0) \tag{8}

で定義する。

この定義により log⁡b(x)=y\log_b(x) = y は by=xb^y = x と同値だ（(7)(7) を代入して確認できる）——学校代数で慣れ親しんだ意味と一致する。

底の変換公式

定義 (8)(8) より、任意の2つの有効な底 aa と bb に対して：

log⁡a(x)=ln⁡xln⁡a=ln⁡xln⁡b⋅ln⁡bln⁡a=log⁡b(x)⋅1log⁡b(a).\log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\ln x}{\ln b} \cdot \frac{\ln b}{\ln a} = \log_b(x) \cdot \frac{1}{\log_b(a)}.

同値な表し方をすると：

log⁡a(x)=log⁡b(x)log⁡b(a).\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}.

実用的には、科学用電卓は log⁡10\log_{10}（常用対数）と ln⁡\ln を提供している。**底の変換公式（change-of-base formula）**を使えばどちらか一方から任意の他の底の対数に到達できる。

まとめ

  • 自然対数 ln⁡:(0,∞)→R\ln : (0, \infty) \to \mathbb{R} は exp⁡\exp の逆関数：ln⁡(exp⁡(x))=x\ln(\exp(x)) = x かつ exp⁡(ln⁡y)=y\exp(\ln y) = y。
  • 主要な値：ln⁡1=0\ln 1 = 0、ln⁡e=1\ln e = 1、すべての n∈Zn \in \mathbb{Z} に対して ln⁡(en)=n\ln(e^n) = n。
  • 積の法則： ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡y\ln(xy) = \ln x + \ln y（加法公式 exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) から導かれる）。
  • べきの法則： ln⁡(xr)=rln⁡x\ln(x^r) = r\ln x（すべての r∈Rr \in \mathbb{R} と x>0x > 0 に対して）。
  • 導関数： (ln⁡x)′=1/x(\ln x)' = 1/x（逆関数定理で証明）。
  • ln⁡\ln は (0,∞)(0, \infty) 上で狭義単調増加；x→∞x \to \infty のとき ln⁡x→+∞\ln x \to +\infty、x→0+x \to 0^+ のとき ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty。
  • 積分表示： ln⁡x=∫1x1t dt\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt（導関数の公式を出発点とする別の定義）。
  • 一般の指数関数： bx≔exp⁡(xln⁡b)b^x \coloneqq \exp(x \ln b)、導関数は (ln⁡b) bx(\ln b)\,b^x。
  • 底 bb の対数： log⁡b(x)≔ln⁡xln⁡b\log_b(x) \coloneqq \frac{\ln x}{\ln b}；底の変換公式は log⁡a(x)=log⁡b(x)log⁡b(a)\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}。