ヤングの不等式 — Project Hematite

ヤングの不等式は、解析学の驚くほど多くの場面を動かす小さなてこだ。二つの数の積を、それらのべき乗の和に変えてしまう。そしてこの一つの交換こそが、ヘルダーの不等式を、さらにそれを通じてミンコフスキーの不等式を立ち上げるのにちょうど必要なものだ。正しく設定すれば、証明は凸性のたった一行で済む。

共役指数

二つの実数 $p, q > 1$ が共役指数（conjugate exponents）であるとは、

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

が成り立つことをいう。同値に $q = \dfrac{p}{p-1}$ だ。組 $(2, 2)$ は自分自身と共役であり、 $(1, \infty)$ は通常別に扱う極限の場合だ。この定義の等式は、 $1/p$ と $1/q$ が和 $1$ になる重みであることを述べている——これが証明を凸結合として読めるようにしてくれる。

定理

定理（ヤングの不等式）. $p, q > 1$ を共役指数とし、 $a, b \geq 0$ とする。このとき

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}, \tag{1}

が成り立ち、等号は $a^p = b^q$ のとき、かつそのときに限り成立する。

指数関数の凸性による証明

$a = 0$ または $b = 0$ なら左辺は $0$ で右辺は非負だから $(1)$ は成り立つ。よって以下では $a, b > 0$ とする。

鍵は指数関数だ。これは $\mathbb{R}$ 全体で凸なので、イェンセンの不等式の二点の場合から、任意の実数 $x, y$ と和 $1$ になる重み $1/p, 1/q$ に対して

\exp\!\left(\frac{1}{p}\,x + \frac{1}{q}\,y\right) \;\leq\; \frac{1}{p}\,e^{x} + \frac{1}{q}\,e^{y} \tag{2}

が成り立つ。

そこで、指数が $a^p$ と $b^q$ になるように入力を選ぶ。対数を使って、

x \coloneqq p \ln a, \qquad y \coloneqq q \ln b

とおく。すると $e^{x} = a^{p}$ 、 $e^{y} = b^{q}$ となり、 $(2)$ の左辺の引数は崩れて

\frac{1}{p}\,x + \frac{1}{q}\,y \;=\; \ln a + \ln b \;=\; \ln(ab),

となるので $\exp\!\big(\tfrac{1}{p}x + \tfrac{1}{q}y\big) = ab$ だ。これを $(2)$ に代入すると、ちょうど

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

が得られる。 $\square$

等号条件

指数関数は狭義凸だから、 $(2)$ が等号になるのは二つの入力が一致するとき、すなわち $x = y$ 、つまり $p \ln a = q \ln b$ のとき、かつそのときに限る。両辺の指数をとればこれは $a^p = b^q$ だ。したがって $(1)$ の等号はちょうど $a^p = b^q$ のときに成立する。

まとめ

共役指数 $p, q > 1$ は $1/p + 1/q = 1$ を満たし、二つの逆数は和 $1$ になる重みとして働く。
ヤングの不等式： $a, b \geq 0$ に対して $ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$ 。
証明： $ab = \exp(\tfrac{1}{p}\cdot p\ln a + \tfrac{1}{q}\cdot q\ln b)$ と書いて $\exp$ の凸性を使う——二点版イェンセンの不等式を一度使うだけだ。
等号は $a^p = b^q$ のとき成立する。 $\exp$ が狭義凸だからだ。
この不等式はヘルダーの不等式を支えるエンジンだ。