ヘルダーの不等式

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前提知識

ヘルダーの不等式は、二つの数列を組にして扱うときの主力となる評価だ。積の和 ∑aibi\sum a_i b_i を、二つの数列それぞれの「大きさ」——共役な ℓp\ell^p ノルムと ℓq\ell^q ノルムで測ったもの——で抑える。p=q=2p = q = 2 とすればコーシー・シュワルツの不等式が得られ、一般の場合はミンコフスキーの不等式（ℓp\ell^p の三角不等式）を証明可能にするものだ。すべてはヤングの不等式を一項ずつ適用することに帰着する。

定理

定理（ヘルダーの不等式）. p,q>1p, q > 1 を共役指数 1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 とし、a1,…,ana_1, \ldots, a_n と b1,…,bnb_1, \ldots, b_n を実数（または複素数）とする。このとき

∑i=1n∣aibi∣  ≤  (∑i=1n∣ai∣p)1/p(∑i=1n∣bi∣q)1/q.(1)\sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \;\leq\; \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{q}\right)^{1/q}. \tag{1}

∣∑iaibi∣≤∑i∣aibi∣\big|\sum_i a_i b_i\big| \leq \sum_i |a_i b_i| だから、同じ評価が内積の絶対値も抑える。

着想：正規化してから各項にヤングを適用する

ヤングの不等式は一つの積 abab を ap/p+bq/qa^p/p + b^q/q で抑える。これを ii について和をとれば ∑∣aibi∣≤1p∑∣ai∣p+1q∑∣bi∣q\sum |a_i b_i| \leq \tfrac{1}{p}\sum|a_i|^p + \tfrac{1}{q}\sum|b_i|^q が得られる——惜しいが、右辺は二つのノルムの積ではなく和になっている。これを直すには、まず各数列を単位ノルムになるよう拡大縮小する。そこではべき乗の和が 11 に潰れるので、最後にその拡大縮小を元に戻せばよい。

証明

次のようにおく。

A≔(∑i=1n∣ai∣p)1/p,B≔(∑i=1n∣bi∣q)1/q.A \coloneqq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\right)^{1/p}, \qquad B \coloneqq \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{q}\right)^{1/q}.

退化した場合. A=0A = 0 ならばすべての ai=0a_i = 0 だから (1)(1) の左辺は 00 となり、不等式は自明に成り立つ。B=0B = 0 の場合も同様だ。以下では A,B>0A, B > 0 とする。

正規化. 拡大縮小した量を

αi≔∣ai∣A,βi≔∣bi∣B\alpha_i \coloneqq \frac{|a_i|}{A}, \qquad \beta_i \coloneqq \frac{|b_i|}{B}

と定義する。構成からこれらは単位 pp-ノルム・qq-ノルムをもつ。

∑i=1nαip  =  1Ap∑i=1n∣ai∣p  =  1,∑i=1nβiq  =  1Bq∑i=1n∣bi∣q  =  1.(2)\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^{p} \;=\; \frac{1}{A^{p}}\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p} \;=\; 1, \qquad \sum_{i=1}^{n} \beta_i^{q} \;=\; \frac{1}{B^{q}}\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{q} \;=\; 1. \tag{2}

各項にヤングを適用. 各 ii について、非負の数 αi,βi\alpha_i, \beta_i にヤングの不等式を適用すると

αiβi  ≤  αipp+βiqq.\alpha_i \beta_i \;\leq\; \frac{\alpha_i^{p}}{p} + \frac{\beta_i^{q}}{q}.

i=1,…,ni = 1, \ldots, n について和をとり、(2)(2) を使うと

∑i=1nαiβi  ≤  1p∑i=1nαip+1q∑i=1nβiq  =  1p+1q  =  1.\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \beta_i \;\leq\; \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{p} + \frac{1}{q}\sum_{i=1}^{n}\beta_i^{q} \;=\; \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \;=\; 1.

拡大縮小を元に戻す. 左辺は 1AB∑i∣aibi∣\dfrac{1}{AB}\sum_i |a_i b_i| だから、全体に ABAB を掛けると

∑i=1n∣aibi∣  ≤  AB  =  (∑i=1n∣ai∣p)1/p(∑i=1n∣bi∣q)1/q\sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \;\leq\; AB \;=\; \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{q}\right)^{1/q}

が得られる。□\square

特別な場合としてのコーシー・シュワルツ

p=q=2p = q = 2（12+12=1\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1 だから共役だ）とおくと、(1)(1) は

∑i=1n∣aibi∣  ≤  (∑i=1nai2)1/2(∑i=1nbi2)1/2\sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \;\leq\; \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^{2}\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^{2}\right)^{1/2}

となり、コーシー・シュワルツの不等式になる。つまりヘルダーはその一パラメータ一般化だ。

まとめ

  • ヘルダーの不等式：共役な p,qp, q に対して ∑i∣aibi∣≤(∑i∣ai∣p)1/p(∑i∣bi∣q)1/q\sum_i |a_i b_i| \leq \big(\sum_i |a_i|^p\big)^{1/p}\big(\sum_i |b_i|^q\big)^{1/q}。
  • 三つの手順による証明：各数列を単位ノルムに正規化し、ヤングの不等式を各項に適用し、最後に拡大縮小の係数を掛け戻す。
  • 正規化が効く理由：単位ノルムではべき乗の和が 1/p1/p と 1/q1/q になり、これらの和がちょうど 11 になる。
  • コーシー・シュワルツは p=q=2p = q = 2 の場合だ。
  • ヘルダーはミンコフスキーの不等式の証明における鍵となる材料だ。