ミンコフスキーの不等式

$\ell^p$ ノルムがノルムの名に値するためには、三角不等式を満たさなければならない。すなわち、和の長さは長さの和以下でなければならない。この主張がミンコフスキーの不等式であり、これこそが $\ell^p$ を真のノルム空間にする性質だ。証明は巧妙な分割と、それに続くヘルダーの不等式の一度の適用からなる。

定理

$p \geq 1$ に対して、有限数列の $\ell^p$ ノルムを $\|a\|_p \coloneqq \big(\sum_i |a_i|^p\big)^{1/p}$ と書く。

定理（ミンコフスキーの不等式）. $p \geq 1$ とし、$a_1, \ldots, a_n$ と $b_1, \ldots, b_n$ を実数（または複素数）とする。このとき

$$\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p}\right)^{1/p} \;\leq\; \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{p}\right)^{1/p}, \tag{1}$$

すなわち $\|a + b\|_p \leq \|a\|_p + \|b\|_p$ だ。

易しい二つの指数

$p = 1$ の場合. 不等式 $(1)$ は通常の三角不等式を各項について和をとっただけだ。$|a_i + b_i| \leq |a_i| + |b_i|$ なので $\sum_i |a_i + b_i| \leq \sum_i |a_i| + \sum_i |b_i|$ となる。

そこで残りは $p > 1$ と仮定し、その共役指数を $q = \dfrac{p}{p-1}$ とする。すると $(p-1)q = p$ かつ $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ だ。

$p > 1$ の場合の証明：分割してヘルダーを適用

$S \coloneqq \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{p}$ とおく。$S = 0$ なら $(1)$ の両辺が $0$ なので $S > 0$ と仮定する。

べき乗を分割する. $|a_i + b_i|$ の因子を一つ前に出し、三角不等式 $|a_i + b_i| \leq |a_i| + |b_i|$ で抑える。

$$|a_i + b_i|^{p} = |a_i + b_i|\,\cdot\,|a_i + b_i|^{p-1} \;\leq\; |a_i|\,|a_i + b_i|^{p-1} + |b_i|\,|a_i + b_i|^{p-1}.$$

$i$ について和をとると、

$$S \;\leq\; \underbrace{\sum_{i=1}^{n} |a_i|\,|a_i + b_i|^{p-1}}_{(\mathrm{I})} \;+\; \underbrace{\sum_{i=1}^{n} |b_i|\,|a_i + b_i|^{p-1}}_{(\mathrm{II})}. \tag{2}$$

各部分にヘルダーを適用. $(\mathrm{I})$ を数列 $(|a_i|)$ と $(|a_i + b_i|^{p-1})$ の組とみなし、指数 $p$ と $q$ でヘルダーの不等式を適用する。

$$(\mathrm{I}) \;\leq\; \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{(p-1)q}\right)^{1/q}.$$

$(p-1)q = p$ なので、第二因子は $\big(\sum_i |a_i + b_i|^{p}\big)^{1/q} = S^{1/q}$ だ。ゆえに

$$(\mathrm{I}) \;\leq\; \|a\|_p \, S^{1/q}, \qquad\text{同様に}\qquad (\mathrm{II}) \;\leq\; \|b\|_p \, S^{1/q}.$$

まとめる. 両方の評価を $(2)$ に代入すると、

$$S \;\leq\; \big(\|a\|_p + \|b\|_p\big)\, S^{1/q}.$$

$S > 0$ だから両辺を $S^{1/q}$ で割る。$1 - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p}$ を使うと、

$$S^{1/p} = S^{\,1 - 1/q} \;\leq\; \|a\|_p + \|b\|_p,$$

となり、これはちょうど $(1)$ だ。$\square$

なぜこれが重要か

ミンコフスキーの不等式は $\ell^p$ ノルムの三角不等式だ。これと、易しい事実 $\|a\|_p \geq 0$（等号は零数列のときのみ）および $\|\lambda a\|_p = |\lambda|\,\|a\|_p$ を合わせると、$\|\cdot\|_p$ が真のノルムであること——したがって任意の $p \geq 1$ について $\ell^p$ がノルムベクトル空間であること——が保証される。同じ論証で、和を積分に置き換えれば $L^p$ 関数空間に対するミンコフスキーの不等式が得られる。

まとめ

• ミンコフスキーの不等式：$p \geq 1$ に対して $\|a + b\|_p \leq \|a\|_p + \|b\|_p$——$\ell^p$ ノルムの三角不等式だ。
• $p = 1$ の場合は各項ごとの三角不等式であり、本質的な作業は $p > 1$ にある。
• $p > 1$ の場合の証明：$|a_i + b_i|^p = |a_i + b_i|\cdot|a_i + b_i|^{p-1}$ と分割し、第一因子を $|a_i| + |b_i|$ で抑え、得られた各和にヘルダーの不等式を適用する。指数の等式 $(p-1)q = p$ により残りの因子が $S^{1/q}$ に潰れる。
• 帰結：$\|\cdot\|_p$ はノルムなので、$\ell^p$（および $L^p$）はノルム空間だ。