数学

チェックポイント

• 初等関数の微分 Proof すべての初等関数は定義域のどこでも微分可能で、その微分係数は再び初等関数だ。このチェックポイントでは2つの基本極限を出発点として、指数・対数・三角・逆三角・双曲線・逆双曲線の全初等関数の微分係数を証明する。
• ヘルダーの不等式 Proof 共役指数 $1/p + 1/q = 1$（$p, q > 1$）に対するヘルダーの不等式 |∑ aᵢbᵢ| ≤ (∑ |aᵢ|ᵖ)^{1/p} (∑ |bᵢ|ᵍ)^{1/q} を、二つの数列を正規化してヤングの不等式を各項に適用することで証明する。
• ミンコフスキーの不等式 Proof $p \\geq 1$ に対するミンコフスキーの不等式 (∑ |aᵢ + bᵢ|ᵖ)^{1/p} ≤ (∑ |aᵢ|ᵖ)^{1/p} + (∑ |bᵢ|ᵖ)^{1/p}（$\\ell^p$ ノルムの三角不等式）を、|aᵢ + bᵢ|ᵖ = |aᵢ + bᵢ|·|aᵢ + bᵢ|^{p−1} と分割して各部分にヘルダーの不等式を適用することで証明する。
• ヤングの不等式 Proof 非負の $a, b$ と $1/p + 1/q = 1$（$p, q > 1$）を満たす共役指数に対して、ヤングの不等式 $ab \\leq a^p/p + b^q/q$ を、指数関数の凸性とイェンセンの不等式を組み合わせて証明する。