初等関数の微分

すべての初等関数はその定義域内のどこでも微分可能であり、その微分係数は再び初等関数だ。このチェックポイントではその証明を集める：2つの基本的な極限から出発して、指数関数・対数・すべての三角関数と逆三角関数・すべての双曲線関数と逆双曲線関数の微分係数を導出する。

2つの基本的な極限

以下の証明はすべて2つの極限に基づく。

補題1。 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$。

証明。 $u = e^h - 1$ と置換すると $h = \ln(1+u)$ であり $h \to 0$ のとき $u \to 0$：

$$\frac{e^h - 1}{h} \;=\; \frac{u}{\ln(1+u)}.$$

不等式 $\dfrac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x$（$x > -1$）を $u$ で割ると：

$$\frac{1}{1+u} \;\leq\; \frac{\ln(1+u)}{u} \;\leq\; 1.$$

$u \to 0^+$ で左辺は $1$ に収束するので、はさみうちの定理より $\ln(1+u)/u \to 1$。$u \to 0^-$ の場合も対称性から同様。ゆえに $\dfrac{u}{\ln(1+u)} \to 1$。$\square$

補題2。 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$。

証明。 $0 < h < \pi/2$ に対して単位円内の面積を比較する：

$$\tfrac{1}{2}\sin h \;\leq\; \tfrac{h}{2} \;\leq\; \tfrac{1}{2}\tan h.$$

$\tfrac{1}{2}\sin h > 0$ で割って逆数をとると：

$$\cos h \;\leq\; \frac{\sin h}{h} \;\leq\; 1.$$

$h \to 0^+$ で $\cos h \to 1$ なので、はさみうちの定理より $\sin h / h \to 1$。$h \to 0^-$ の場合は $\sin(-h)/(-h) = \sin h/h$ から従う。$\square$

補題2から $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$ も導かれる：

$$\frac{\cos h - 1}{h} \;=\; -\frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \sin(h/2) \;\to\; -1 \cdot 0 \;=\; 0.$$

指数関数と対数の微分係数

自然指数関数

$$\frac{d}{dx}(e^x) \;=\; e^x.$$

証明。 補題1より：

$$\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \;=\; e^x \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \;=\; e^x. \;\square$$

一般の指数関数

$a > 0$, $a \neq 1$ のとき $a^x = e^{x\ln a}$ と書き、連鎖律を適用する：

$$\frac{d}{dx}(a^x) \;=\; e^{x\ln a} \cdot \ln a \;=\; a^x \ln a.$$

自然対数

逆関数の微分則を $e^x$ に適用する：

$$\frac{d}{dx}(\ln x) \;=\; \frac{1}{e^{\ln x}} \;=\; \frac{1}{x}, \quad x > 0.$$

一般冪 $x^\alpha$

$x > 0$ と $\alpha \in \mathbb{R}$ に対して $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ と書き、連鎖律を適用する：

$$\frac{d}{dx}(x^\alpha) \;=\; e^{\alpha\ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} \;=\; \alpha x^{\alpha - 1}.$$

これは整数の冪乗則を実数の指数に拡張する。

一般対数

底の変換公式 $\log_a x = \ln x / \ln a$ より：

$$\frac{d}{dx}(\log_a x) \;=\; \frac{1}{x \ln a}.$$

三角関数の微分係数

サイン

$$\frac{d}{dx}(\sin x) \;=\; \cos x.$$

証明。 加法公式 $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ を使う：

$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \;=\; \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}.$$

$h \to 0$ で両補題より $(\cos h - 1)/h \to 0$、$(\sin h)/h \to 1$ なので極限は $\cos x$。$\square$

コサイン

$$\frac{d}{dx}(\cos x) \;=\; -\sin x.$$

証明。 $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ を使う：

$$\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \;=\; \cos x \cdot \frac{\cos h-1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \;\to\; -\sin x. \;\square$$

タンジェントとコタンジェント

$\tan x = \sin x / \cos x$ と $\cot x = \cos x / \sin x$ に商の微分法則を適用する：

$$\frac{d}{dx}(\tan x) \;=\; \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \;=\; \sec^2 x, \qquad x \neq \tfrac{\pi}{2}+n\pi,$$ $$\frac{d}{dx}(\cot x) \;=\; -\csc^2 x, \qquad x \neq n\pi.$$

逆三角関数の微分係数

4つすべてが逆関数の微分則とピタゴラス恒等式から従う。

関数	定義域	微分係数
$\arcsin x$	$(-1,1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$(-1,1)$	$\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{-1}{1+x^2}$

最後の項：$(\cot x)' = -\csc^2 x = -(1+\cot^2 x)$ なので $x = \cot t$ で逆関数の微分則を使えば $(\text{arccot}\, x)' = -1/(1+x^2)$。

双曲線関数の微分係数

$\sinh x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$、$\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ を $(e^x)' = e^x$、$(e^{-x})' = -e^{-x}$ を使って項ごとに微分する：

$$\frac{d}{dx}(\sinh x) \;=\; \cosh x, \qquad \frac{d}{dx}(\cosh x) \;=\; \sinh x.$$

$\tanh x = \sinh x / \cosh x$ に商の微分法則を適用する：

$$\frac{d}{dx}(\tanh x) \;=\; \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} \;=\; \text{sech}^2 x.$$

同様に $(\text{coth}\, x)' = -\text{csch}^2 x$（$x \neq 0$）。

逆双曲線関数の微分係数

逆双曲線関数の対数表現を使えば微分係数が容易に計算できる。

arsinh。 $\text{arsinh}\, x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ なので：

$$(\text{arsinh}\, x)' \;=\; \frac{1+\tfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \;=\; \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

arcosh。 $x > 1$ で $\text{arcosh}\, x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$ なので：

$$(\text{arcosh}\, x)' \;=\; \frac{1+\tfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.$$

artanh。 $|x| < 1$ で $\text{artanh}\, x = \tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1+x}{1-x}$ なので：

$$(\text{artanh}\, x)' \;=\; \tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right) \;=\; \frac{1}{1-x^2}.$$

まとめ

関数	微分係数	定義域
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$\mathbb{R}$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$x>0$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x\neq\pi/2+n\pi$
$\cot x$	$-\csc^2 x$	$x\neq n\pi$
$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$	$(-1,1)$
$\arccos x$	$-1/\sqrt{1-x^2}$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$	$\mathbb{R}$
$\text{arccot}\, x$	$-1/(1+x^2)$	$\mathbb{R}$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\mathbb{R}$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\mathbb{R}$
$\tanh x$	$\text{sech}^2 x$	$\mathbb{R}$
$\text{coth}\, x$	$-\text{csch}^2 x$	$x\neq 0$
$\text{arsinh}\, x$	$1/\sqrt{x^2+1}$	$\mathbb{R}$
$\text{arcosh}\, x$	$1/\sqrt{x^2-1}$	$x>1$
$\text{artanh}\, x$	$1/(1-x^2)$	$\lvert x\rvert<1$