逆関数の微分

Basis
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前提知識

ff の微分の仕方を知っているなら、その逆関数 f−1f^{-1} もすぐに微分できるか？答えは f′f' がゼロでない限りイエスだ。これにより ln⁡x\ln x, arcsin⁡x\arcsin x, arctan⁡x\arctan x などすべての逆関数の微分係数を効率的に求める近道が得られる。

逆関数の微分公式

定理。 ff が開区間 II 上で連続かつ狭義単調で、II 上で微分可能、f′(x)≠0f'(x) \neq 0（∀x∈I\forall x \in I）とする。このとき f−1f^{-1} は f(I)f(I) 上で微分可能で

(f−1)′(y)  =  1f′(f−1(y)).(1)(f^{-1})'(y) \;=\; \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}. \tag{1}

証明。 y0=f(x0)∈f(I)y_0 = f(x_0) \in f(I) を固定し、y=f(x)y = f(x)（y≠y0y \neq y_0）とおく。このとき x≠x0x \neq x_0 であり、

f−1(y)−f−1(y0)y−y0  =  x−x0f(x)−f(x0).\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} \;=\; \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)}.

y→y0y \to y_0 のとき、f−1f^{-1} の連続性（ff の狭義単調性と連続性から従う）より x=f−1(y)→x0x = f^{-1}(y) \to x_0。f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 なので

lim⁡y→y0x−x0f(x)−f(x0)  =  1f′(x0)  =  1f′(f−1(y0)).  □\lim_{y \to y_0}\frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} \;=\; \frac{1}{f'(x_0)} \;=\; \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}. \;\square

ライプニッツ記法：y=f(x)y = f(x) のとき dxdy=1 dydx \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\,\dfrac{dy}{dx}\,}。

ln⁡x\ln x の微分係数

f(x)=exf(x) = e^x として f−1(y)=ln⁡yf^{-1}(y) = \ln y とおく。f′(x)=ex≠0f'(x) = e^x \neq 0 なので公式 (1)(1) より

(ln⁡y)′  =  1eln⁡y  =  1y.(\ln y)' \;=\; \frac{1}{e^{\ln y}} \;=\; \frac{1}{y}.

すなわち ddx(ln⁡x)=1x\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}（x>0x > 0）。

逆三角関数の微分係数

アークサイン

f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x を [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] に制限すると f−1(y)=arcsin⁡yf^{-1}(y) = \arcsin y（y∈(−1,1)y \in (-1,1)）。ここで f′(x)=cos⁡x>0f'(x) = \cos x > 0。x=arcsin⁡yx = \arcsin y のとき cos⁡x=1−sin⁡2x=1−y2\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1-y^2} なので

(arcsin⁡y)′  =  11−y2.(\arcsin y)' \;=\; \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.

アークコサイン

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x を [0,π][0,\pi] に制限すると f′(x)=−sin⁡x<0f'(x) = -\sin x < 0（(0,π)(0,\pi) 上）。x=arccos⁡yx = \arccos y のとき sin⁡x=1−y2\sin x = \sqrt{1-y^2} なので

(arccos⁡y)′  =  −11−y2.(\arccos y)' \;=\; \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}.

(arcsin⁡x)′+(arccos⁡x)′=0(\arcsin x)' + (\arccos x)' = 0 に注意：これは恒等式 arcsin⁡x+arccos⁡x=π/2\arcsin x + \arccos x = \pi/2（定数）と整合する。

アークタンジェント

f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x を (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) に制限する。y=tan⁡xy = \tan x のとき f′(x)=1+tan⁡2x=1+y2f'(x) = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2 なので

(arctan⁡y)′  =  11+y2.(\arctan y)' \;=\; \frac{1}{1+y^2}.

まとめ

  • 逆関数の微分則：ff が狭義単調かつ f′≠0f' \neq 0 のとき (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}。
  • (ln⁡x)′=1/x(\ln x)' = 1/x：(ex)′=ex(e^x)' = e^x の逆関数として導く。
  • (arcsin⁡x)′=1/1−x2(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}、  (arccos⁡x)′=−1/1−x2\;(\arccos x)' = -1/\sqrt{1-x^2}、  (arctan⁡x)′=1/(1+x2)\;(\arctan x)' = 1/(1+x^2)。