実数（有理数の閉包による構成）

Basis
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前提知識

2\sqrt{2} への有理数近似の列はいくらでも「正解」に近づけるが、そこには決して到達できない。有理数 Q\mathbb{Q} にはちょうどそこに穴が開いている——そして無理数があるべきすべての場所に穴が開いている。実数 R\mathbb{R} はすべての穴を塞いだもの、つまり Q\mathbb{Q} の**閉包（closure）**だ。

Q\mathbb{Q} のギャップ問題

次の列を考えよう：

1,  1.4,  1.41,  1.414,  1.4142,  …1,\; 1.4,\; 1.41,\; 1.414,\; 1.4142,\;\ldots

第 nn 項は 2\sqrt{2} の小数展開を nn 桁で切り捨てたものだ。各項は有理数であり、項はどんどん近づいていく——にもかかわらず有理数の中に極限が存在しない。分数 p/qp/q が (p/q)2=2(p/q)^2 = 2 を満たさないことが示せるので 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} であり、この列には Q\mathbb{Q} の中に「居場所」がない。

同じ現象は 3\sqrt{3}、π\pi、ee など無数の目標に対して起こる：有理数で限りなく近づけるが、到達はできない。そのような列がすべて「居場所」をもつ数体系を構築するには、目標が何かを知る前に「ある値に収束していく」と言える正確な方法が必要だ。

コーシー列：目的地を名指しせずに収束する

極限の定義は極限 LL を最初から名指しすることを求める。LL がこれから構成しようとしている欠落した数なのであれば、それは不可能だ。その代わりに、項だけを見る条件を使う。

有理数の列 (qn)(q_n) が**コーシー列（Cauchy sequence）**であるとは、すべての ε>0\varepsilon > 0 に対してある N∈NN \in \mathbb{N} が存在して

m,  n≥N  ⟹  ∣qm−qn∣<ε(1)m,\; n \geq N \implies |q_m - q_n| < \varepsilon \tag{1}

が成り立つことをいう。

収束は「項はいつか固定点 LL に近づき留まるか？」と問うのに対し、コーシー性が問うのは「項はいつか互いに近づき留まるか？」だけだ——外部の目標は不要だ。

事実。 収束するすべての列はコーシー列だ。証明の概略： qn→Lq_n \to L ならば、大きい mm と nn に対して ∣qm−L∣|q_m - L| と ∣qn−L∣|q_n - L| はともに小さく、三角不等式 ∣qm−qn∣≤∣qm−L∣+∣L−qn∣|q_m - q_n| \leq |q_m - L| + |L - q_n| より ∣qm−qn∣|q_m - q_n| も小さい。□\square

逆は Q\mathbb{Q} では成り立たない：列 1,1.4,1.41,…1, 1.4, 1.41, \ldots はコーシー列だが Q\mathbb{Q} 内では収束しない。有理数は完備ではないのだ。

指導的アイデア：R=Q‾\mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}}

閉包から、集合 AA の閉包 A‾\overline{A} は AA とそのすべての集積点を合わせたものであることがわかる。距離空間において xx が AA の集積点とは、AA 内のある列が xx に収束することだ。

Q\mathbb{Q} を閉包することは、ある有理数の列が収束するすべての点を付け加えることを意味する。目標は

R  ≔  Q‾(2)\mathbb{R} \;\coloneqq\; \overline{\mathbb{Q}} \tag{2}

だ。

一つ微妙な点がある：閉包をとるには閉包をとる「舞台となる空間」が必要だが、まさにそれが構成しようとしているものだ。この問題を回避するには、コーシー列から R\mathbb{R} を具体的に構成し、その後で (2)(2) が成り立つことを確認する。

R\mathbb{R} の構成

コーシー列の同値類

C\mathcal{C} を Q\mathbb{Q} におけるすべてのコーシー列の集合とする。二つの列 (pn),(qn)∈C(p_n), (q_n) \in \mathcal{C} が同値（equivalent）、(pn)∼(qn)(p_n) \sim (q_n) とは、

∣pn−qn∣→0(n→∞)(3)|p_n - q_n| \to 0 \quad (n \to \infty) \tag{3}

が成り立つことをいう。

直感的には：同じ目標を目指しているということだ。条件 (3)(3) は同値関係（反射的・対称的・推移的——それぞれ確認してみよう）なので、C\mathcal{C} を互いに素な**同値類（equivalence class）**に分割する。そこで

R  ≔  C/∼\mathbb{R} \;\coloneqq\; \mathcal{C}/{\sim}

と定義する。

各類 [(qn)][(q_n)] は、その類のすべての列が共有する唯一の「意図された極限」を表す。1,1.4,1.41,…1, 1.4, 1.41, \ldots の類が 2\sqrt{2} と呼ばれるものだ。定数列 (3,3,3,…)(3, 3, 3, \ldots) の類は有理数 33 になる。

Q\mathbb{Q} の R\mathbb{R} への埋め込み

各有理数 qq を定数列の類に送る：

ι ⁣:Q→R,q  ↦  [(q, q, q, …)].\iota \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, \quad q \;\mapsto\; [(q,\, q,\, q,\, \ldots)].

異なる二つの有理数は非同値な定数列を与えるので ι\iota は単射だ：Q\mathbb{Q} は R\mathbb{R} に重複なく埋め込まれる。以後、各 q∈Qq \in \mathbb{Q} を ι(q)∈R\iota(q) \in \mathbb{R} と同一視し、Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} と書く。

演算と順序

演算は代表元の項ごとの演算として定義する：

[(pn)]+[(qn)]  ≔  [(pn+qn)],[(pn)]⋅[(qn)]  ≔  [(pn⋅qn)].(4)[(p_n)] + [(q_n)] \;\coloneqq\; [(p_n + q_n)], \qquad [(p_n)] \cdot [(q_n)] \;\coloneqq\; [(p_n \cdot q_n)]. \tag{4}

どちらも well-defined だ：コーシー列の項ごとの和・積もコーシー列であり、代表元を同値なものに置き換えても結果の類は変わらない。除法も同様に定義され、項が 00 に近づく列の類を除く。これらの演算により R\mathbb{R} は Q\mathbb{Q} を拡張する**体（field）**になる。

[(pn)]<[(qn)][(p_n)] < [(q_n)] は、ある固定した δ>0\delta > 0 と十分大きいすべての nn に対して qn−pn≥δq_n - p_n \geq \delta が成り立つときと定める。これにより R\mathbb{R} は Q\mathbb{Q} の順序を拡張した**順序体（ordered field）**になる。

R\mathbb{R} の計量

∣[(qn)]∣≔[(∣qn∣)]|[(q_n)]| \coloneqq [(|q_n|)]、d(x,y)≔∣x−y∣d(x, y) \coloneqq |x - y| とする。これにより R\mathbb{R} に Q\mathbb{Q} 上の計量を拡張した距離空間の構造が与えられる。

R\mathbb{R} の主要な性質

Q\mathbb{Q} は稠密：Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}

定理。 すべての実数は有理数の列の極限だ。

証明。 x=[(qn)]∈Rx = [(q_n)] \in \mathbb{R} とする。各有理数 qnq_n を ι\iota で R\mathbb{R} に埋め込み、R\mathbb{R} の元とみなす。ε>0\varepsilon > 0 を固定する。コーシー条件 (1)(1) より、m,n≥Nm, n \geq N でのすべての m,nm, n に対して ∣qm−qn∣<ε|q_m - q_n| < \varepsilon となる N∈NN \in \mathbb{N} が存在する。任意の固定した n≥Nn \geq N に対して、実数 ∣x−qn∣=[(∣qm−qn∣)m]|x - q_n| = [(|q_m - q_n|)_m] は m≥Nm \geq N のすべての mm に対して ∣qm−qn∣<ε|q_m - q_n| < \varepsilon を満たすので——R\mathbb{R} の順序より——∣x−qn∣≤ε|x - q_n| \leq \varepsilon。ε\varepsilon は任意だったから qn→xq_n \to x。xx は任意だったから、すべての実数は有理数の列の極限であり Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}。□\square

これにより (2)(2) が確認された：この構成は目指していた Q\mathbb{Q} の閉包をちょうど与える。

完備性

定理。 R\mathbb{R} におけるすべてのコーシー列は R\mathbb{R} 内で収束する。

証明の概略。 (xk)(x_k) を R\mathbb{R} のコーシー列とする。稠密性より、各 kk に対して ∣rk−xk∣<1/k|r_k - x_k| < 1/k を満たす有理数 rkr_k を選ぶ。列 (rk)(r_k) は Q\mathbb{Q} におけるコーシー列だ：

∣rj−rk∣  ≤  ∣rj−xj∣+∣xj−xk∣+∣xk−rk∣  <  1j+∣xj−xk∣+1k,|r_j - r_k| \;\leq\; |r_j - x_j| + |x_j - x_k| + |x_k - r_k| \;<\; \frac{1}{j} + |x_j - x_k| + \frac{1}{k},

(xk)(x_k) がコーシー列だから、大きい jj と kk に対してこれは小さい。x≔[(rk)]∈Rx \coloneqq [(r_k)] \in \mathbb{R} と定める。∣xk−x∣≤∣xk−rk∣+∣rk−x∣<1/k+∣rk−x∣|x_k - x| \leq |x_k - r_k| + |r_k - x| < 1/k + |r_k - x| であり、列 (rk)(r_k) に稠密性を適用すると rk→xr_k \to x だから xk→xx_k \to x。□\square

完備性は構成全体の見返りだ：R\mathbb{R} におけるすべてのコーシー列は R\mathbb{R} 内で収束し、穴は残らない。

一意性

順序体の同型の意味で、R\mathbb{R} は唯一の完備順序体（complete ordered field）だ。デデキント切断などによる別の構成も、順序を保つ体の同型写像によってこの構成と同じ数学的対象に対応する。だからこそ実数の異なる定義方法は実際には互換性があるのだ。

まとめ

  • Q\mathbb{Q} には穴がある：有理数のコーシー列は Q\mathbb{Q} 内で収束するとは限らない。
  • コーシー列（Cauchy sequence） (qn)(q_n) は m,n→∞m, n \to \infty のとき ∣qm−qn∣→0|q_m - q_n| \to 0 を満たす——外部の目標なしに内部でまとまっていく。
  • 実数 R=C/∼\mathbb{R} = \mathcal{C}/{\sim} は Q\mathbb{Q} のコーシー列の同値類であり、二つの列は項ごとの差が 00 に近づくとき同値とする。
  • Q\mathbb{Q} は R\mathbb{R} に**稠密（dense）**に埋め込まれる：Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}、すなわちすべての実数は有理数の列の極限——目指した閉包 (2)(2) がちょうど実現している。
  • R\mathbb{R} は完備（complete）：実数のすべてのコーシー列は R\mathbb{R} 内で収束する。
  • 合わせて、これらの性質は R\mathbb{R} を同型の意味で唯一の完備順序体にする。