有理数

Elementry
最終更新: タグ: Numbers

前提知識

自然数 N={0,1,2,3,…}\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} が五つの単純な公理から構築できることを学んだ。自然数は数えるのに優れているが、数えることがすべてではない。

あなたと二人の友人がピザを平等に分けることを想像してほしい。一人が三分の一を受け取る。三分の一は 00 でも 11 でも、どの自然数でもない。そのスライスを表すには、新しい種類の数が必要だ：有理数（rational number）。

自然数が不十分な理由

自然数は加算と乗算のもとで美しく振る舞う。二つの自然数を加えると別の自然数が得られる。二つの自然数を掛けても N\mathbb{N} の中に留まる。

割り算は違う。うまくいくこともある：

6÷2=3✓6 \div 2 = 3 \qquad \checkmark

でも多くの場合はうまくいかない：

1÷3=  ?1 \div 3 = \; ?

1÷31 \div 3 に等しい自然数はない。自然数には、割り算が余りを残す場所に穴がある。有理数はまさにそれらの穴を埋めるために必要な数だ — 一つの例外はすぐに出てくる。

踏み台：整数

自然数は 00 から上方向にしか進まない。有理数を定義する前に、整数（integer）について知っておくといい — 負の数も含む整数だ：

Z={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}

すべての自然数は整数（N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}）だが、整数はゼロより下にも達する。記号 Z\mathbb{Z} は「数」を意味するドイツ語の Zahlen に由来する。

今すぐ整数を深く扱う必要はない — 存在すること、そして負の数を含むことだけ知っておこう。

有理数とは何か

有理数とは、分数として書ける数だ：

pq(1)\frac{p}{q} \tag{1}

ここで pp と qq は整数で q≠0q \neq 0。

上の数 pp を分子（numerator）、下の数 qq を分母（denominator）と呼ぶ。「有理数」（rational）という言葉は比（ratio）と語源を共有する — 有理数は文字通り二つの整数の比だ。

すべての有理数の集合は Q\mathbb{Q} と書く。フランス語の quotient（割り算の結果）から：

Q≔{ pq  |  p,q∈Z,  q≠0 }\mathbb{Q} \coloneqq \left\{\, \frac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0 \,\right\}

いくつかの例：

分数小数として
12\frac{1}{2}0.50.5
34\frac{3}{4}0.750.75
13\frac{1}{3}0.333…0.333\ldots
−25\frac{-2}{5}−0.4-0.4
71\frac{7}{1}77

最後の行に注目：すべての整数 nn は有理数だ。n=n1n = \frac{n}{1} だからだ。したがって Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}、さらに N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}。

分母がゼロであってはならない理由

ゼロによる割り算は禁じられている — 不便なだけでなく、本当に不可能だ。理由はこうだ。

ab=c\frac{a}{b} = c であれば、a=b×ca = b \times c を意味する。では「10\frac{1}{0} は何か？」と問うのは、「1=0×c1 = 0 \times c を満たす数 cc は何か？」と問うことだ。0×c=00 \times c = 0 はありとあらゆる cc に対して成り立つため、cc のどの値も機能しない。答えが存在しないため、問い自体が無意味だ。定義(1) の q≠0q \neq 0 という条件が数学を崩壊から守っている。

多くの分数、一つの数

異なる分数が異なって見えても同じことを意味することに気づいたかもしれない：

12=24=36=50100\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}

二つの分数が同じ有理数を表すのはいつか？pq\frac{p}{q} と rs\frac{r}{s} が同じ有理数を表すのは、次の場合に限る：

p×s=r×q(2)p \times s = r \times q \tag{2}

確認してみよう：12=36\frac{1}{2} = \frac{3}{6} か？1×6=3×21 \times 6 = 3 \times 2 か？両辺とも 66 なので、はい。✓

有理数を一つの分数としてではなく、等価な分数のファミリー全体として考えよう。69\frac{6}{9} を 23\frac{2}{3} に簡約するとき、そのファミリーの最も簡単な代表に切り替えているだけだ。どちらの分数もまったく同じ数の異なる名前だ。

最も簡単な名前は分子と分母を最大公約数（GCD）（greatest common divisor）で割ることで求まる。69\frac{6}{9} の場合：gcd⁡(6,9)=3\gcd(6, 9) = 3 なので：

69=6÷39÷3=23\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}

有理数の算術

分数が手に入ったら、それをどう組み合わせるかを知る必要がある。

加算と減算

二つの分数を加えるには、まず同じ分母になるよう書き直し、次に分子を加える：

ab+cd=a⋅d+b⋅cb⋅d\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

例えば：

13+14=1⋅4+3⋅13⋅4=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}

減算は同じパターンで、分子にマイナス記号を使う：

ab−cd=a⋅d−b⋅cb⋅d\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}

乗算

乗算が最も単純な演算だ — 分子同士を掛け、分母同士を掛ける：

ab×cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

除算

分数で割ることは、その逆数（reciprocal）を掛けることと同じだ。cd\frac{c}{d} の逆数は dc\frac{d}{c}：

ab÷cd=ab×dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

ゼロによる割り算のルールはここでも適用される：c=0c = 0 なら cd=0\frac{c}{d} = 0 であり、ゼロで割ることは依然として禁じられている。

四つの演算に対して閉じている

集合がある演算に対して閉じている（closed）とは、その集合の要素に演算を適用すると常にその集合の別の要素が得られることを言う。自然数は減算（1−31 - 3 は N\mathbb{N} に答えがない）や除算（1÷31 \div 3 は N\mathbb{N} に答えがない）に対して閉じていない。

有理数はその両方の問題を解決する。ゼロで割らない限り、有理数に ++、−-、×\times、÷\div を適用した結果は常に有理数だ。これを体（field）と呼ぶ — 四つの算術演算すべてが確実に機能する構造。Q\mathbb{Q} は N\mathbb{N} を含む最小の体だ。

数直線上の有理数

おなじみの数直線を思い浮かべよう。整数は等間隔の目印として座っている。有理数はその目印の間の隙間を埋める。

00 と 11 の間に 12\frac{1}{2} がある。00 と 12\frac{1}{2} の間に 14\frac{1}{4} がある。任意の二つの有理数 rr と ss の間には、どれだけ近くても、その平均 r+s2\frac{r + s}{2} も有理数だ — そして厳密にその間に位置する。

この性質を稠密性（density）と呼ぶ — 有理数は数直線上で稠密だ。整数のように「次」の整数があるのとは違い、有理数には「次」の有理数がない。任意の二つの有理数の間には、常に無限に多くの有理数が収まる。

ならば有理数が数直線全体を覆うと思うだろう。驚くことに、そうではない。2\sqrt{2} のような数は、どんな整数 pp と qq に対しても pq\frac{p}{q} として書けない — それらは無理数（irrational）だ。実数 R\mathbb{R} がそれらの残りの隙間を埋めるが、それはまた別のチェックポイントで扱う。

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

まとめ

  • 有理数とは pq\frac{p}{q} の形で表せる数で、pp と qq は整数で q≠0q \neq 0。
  • 有理数の集合は Q\mathbb{Q} と表記する。すべての整数を含み、整数はすべての自然数を含む。
  • ゼロによる割り算は定義されておらず、定義から除外される。
  • 多くの分数が同じ有理数を表せる。pq\frac{p}{q} と rs\frac{r}{s} が等しいのは p×s=r×qp \times s = r \times q のときに限る。
  • 分数に対する四つの算術演算：
    • 加算/減算：ab±cd=ad±bcbd\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a d \pm b c}{b d}
    • 乗算：ab×cd=acbd\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}
    • 除算：ab÷cd=adbc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}（c≠0c \neq 0 が必要）
  • 有理数はすべての四つの演算に対して閉じており（ゼロによる割り算を除く）、Q\mathbb{Q} は体（field）だ。
  • 有理数は稠密だ — 任意の二つの有理数の間には常に別の有理数がある。
  • 稠密性にもかかわらず、有理数は数直線を埋め尽くさない — 2\sqrt{2} のような無理数が残りの隙間を占める。

次のステップ

有理数は日常的な算術をすべて処理するが、数直線に本物の穴を残す。次の大きなアイデアは実数 R\mathbb{R} だ。それらの穴を埋め、極限、連続性、微積分について語れるようになる。