有理數 — Project Hematite

你現在知道自然數 $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ 可以從五條簡單的公理建立。它們非常適合計數——但計數並不是一切。

想像你和兩個朋友平均分享一個披薩。每個人得到三分之一。三分之一不是 $0$ ，不是 $1$ ，不是任何自然數。要描述那一塊，你需要一種新的數：有理數（rational number）。

為什麼自然數不夠用

自然數在加法和乘法下表現得很好。把兩個自然數相加，你得到另一個自然數。把兩個自然數相乘，你仍然落在 $\mathbb{N}$ 中。

除法就不同了。有時它能整除：

6 \div 2 = 3 \qquad \checkmark

但往往不行：

1 \div 3 = \; ?

沒有自然數等於 $1 \div 3$ 。在除法留下餘數的任何地方，自然數都有一個空洞。有理數正好是填補這些空洞所需要的數——有一個例外，你很快就會遇到。

一個墊腳石：整數

自然數只從 $0$ 向上延伸。在定義有理數之前，先了解**整數（integers）**很有幫助——包括負數的整數：

\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}

每個自然數都是整數（ $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ），但整數也延伸到零以下。符號 $\mathbb{Z}$ 來自德語單詞 Zahlen，意思是「數字」。

你現在不需要對整數做深入的處理——只需知道它們存在，而且它們包括負數。

什麼是有理數？

**有理數（rational number）**是任何你可以寫成分數的數：

\frac{p}{q} \tag{1}

其中 $p$ 和 $q$ 是整數，且 $q \neq 0$ 。

上面的數 $p$ 叫做分子（numerator），下面的數 $q$ 叫做分母（denominator）。「有理（rational）」這個詞與「比率（ratio）」有共同的詞根——有理數字面上就是兩個整數的比率。

所有有理數的集合寫作 $\mathbb{Q}$ ，來自法語單詞 quotient（除法的結果）：

\mathbb{Q} \coloneqq \left\{\, \frac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0 \,\right\}

以下是一些例子：

分數	小數形式
$\frac{1}{2}$	$0.5$
$\frac{3}{4}$	$0.75$
$\frac{1}{3}$	$0.333\ldots$
$\frac{-2}{5}$	$-0.4$
$\frac{7}{1}$	$7$

注意最後一行：每個整數 $n$ 都是有理數，因為 $n = \frac{n}{1}$ 。所以 $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ ，進而 $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ 。

為什麼分母不能是零

除以零是被禁止的——不只是不方便，而是真正不可能的。原因如下。

如果 $\frac{a}{b} = c$ ，那意思是 $a = b \times c$ 。所以問「 $\frac{1}{0}$ 是什麼？」其實是在問：「什麼數 $c$ 滿足 $1 = 0 \times c$ ？」由於 $0 \times c = 0$ 對每個可能的 $c$ 都成立，沒有任何 $c$ 的值能使之成立。沒有答案，所以這個問題本身就是沒有意義的。定義 (1) 中的條件 $q \neq 0$ 正是防止數學崩潰的。

許多分數，一個數

你可能已經注意到，不同的分數看起來不同，但意思相同：

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}

你怎麼知道兩個分數命名的是同一個有理數？兩個分數 $\frac{p}{q}$ 和 $\frac{r}{s}$ 表示同一個有理數，當且僅當：

p \times s = r \times q \tag{2}

驗證： $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ 嗎？ $1 \times 6 = 3 \times 2$ 嗎？兩邊都等於 $6$ ，所以是的。✓

把有理數想成不是一個單一的分數，而是整個一族等價分數。當你把 $\frac{6}{9}$ 化簡為 $\frac{2}{3}$ ，你只是切換到那個家族中最簡單的成員。兩個分數是同一個數的不同名字。

最簡單的名字是透過把分子和分母都除以它們的**最大公因數（greatest common divisor，GCD）**找到的。對於 $\frac{6}{9}$ ： $\gcd(6, 9) = 3$ ，所以：

\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}

有理數的算術

一旦你有了分數，你就需要知道如何組合它們。

加法和減法

要把兩個分數相加，先把它們改寫成有相同分母的形式，然後把分子相加：

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

例如：

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}

減法遵循相同的模式，在分子中帶一個減號：

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}

乘法

乘法是最簡單的運算——把分子相乘，把分母相乘：

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

除法

除以一個分數等同於乘以它的倒數（reciprocal）。 $\frac{c}{d}$ 的倒數是 $\frac{d}{c}$ ：

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

除以零的規則也適用於這裡：如果 $c = 0$ ，那麼 $\frac{c}{d} = 0$ ，除以零仍然是被禁止的。

在四種運算下封閉

一個集合在一個運算下是**封閉（closed）**的，如果把那個運算應用於集合的成員總是產生另一個成員。自然數在減法（ $1 - 3$ 在 $\mathbb{N}$ 中沒有答案）或除法（ $1 \div 3$ 在 $\mathbb{N}$ 中沒有答案）下不封閉。

有理數修復了這兩個問題。只要你不除以零，把 $+$ 、 $-$ 、 $\times$ 和 $\div$ 應用於有理數的每個結果也是有理數。這叫做體（field）——一個四種算術運算可靠地運作的結構。 $\mathbb{Q}$ 是包含 $\mathbb{N}$ 的最小體。

數線上的有理數

想像熟悉的數線，整數坐落在均勻間隔的標記上。有理數填補了那些標記之間的空隙。

在 $0$ 和 $1$ 之間你找到 $\frac{1}{2}$ 。在 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 之間你找到 $\frac{1}{4}$ 。在任意兩個有理數 $r$ 和 $s$ 之間，不管它們靠得多近，它們的平均值 $\frac{r + s}{2}$ 也是有理數——且嚴格地夾在它們之間。

這個性質叫做稠密性（density）：有理數在數線上是稠密的。不像整數那樣有「下一個」整數，有理數之間沒有「下一個」有理數。在任意兩個有理數之間，無限多個有理數總是可以塞進去。

你可能因此預期有理數覆蓋了整條數線。令人驚訝的是，它們沒有。像 $\sqrt{2}$ 這樣的數無法寫成任何整數 $p$ 和 $q$ 的 $\frac{p}{q}$ ——它們是無理數（irrational）。實數 $\mathbb{R}$ 填補了那些剩餘的空隙，但那是另一個關卡的故事。

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

摘要

**有理數（rational number）**是任何可以表示為 $\frac{p}{q}$ 的數，其中 $p$ 和 $q$ 是整數，且 $q \neq 0$ 。
有理數的集合記作 $\mathbb{Q}$ ；它包含所有整數，整數又包含所有自然數。
除以零是未定義的，並被排除在定義之外。
許多分數可以表示同一個有理數； $\frac{p}{q}$ 和 $\frac{r}{s}$ 相等，當且僅當 $p \times s = r \times q$ 。
分數的四種算術運算：
- 加法/減法： $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a d \pm b c}{b d}$
- 乘法： $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
- 除法： $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}$ （要求 $c \neq 0$ ）
有理數在四種運算下是封閉的（除以零例外），使 $\mathbb{Q}$ 成為一個體（field）。
有理數是稠密的：任意兩個有理數之間總有另一個有理數。
儘管稠密，有理數並不填滿數線——像 $\sqrt{2}$ 這樣的無理數佔據了剩餘的空隙。

接下來

有理數處理了所有日常算術，但它們在數線上留下了真正的空洞。下一個大概念是實數 $\mathbb{R}$ ，它填補了那些空洞，讓談論極限、連續性和微積分成為可能。