實數（由有理數閉包構造）

Basis
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先備知識

每個趨近 2\sqrt{2} 的有理逼近數列都能任意接近「正確答案」，卻永遠無法落在上面。有理數 Q\mathbb{Q} 在那裡有一個空隙——以及在每個無理數應在之處都有空隙。實數（real number） R\mathbb{R} 是封堵所有空隙後得到的結果：即形成 Q\mathbb{Q} 的閉包（closure）。

Q\mathbb{Q} 中的空隙問題

考慮數列

1,  1.4,  1.41,  1.414,  1.4142,  …1,\; 1.4,\; 1.41,\; 1.414,\; 1.4142,\;\ldots

其第 nn 項是 2\sqrt{2} 截斷至 nn 位小數後的小數展開。每一項都是有理數，且各項越來越緊密地聚集——然而沒有任何有理數是它們的極限。可以證明不存在分數 p/qp/q 滿足 (p/q)2=2(p/q)^2 = 2，故 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}，這個數列在 Q\mathbb{Q} 中沒有歸宿。

同樣的現象也出現在 3\sqrt{3}、π\pi、ee 以及無數其他目標上：你可以用有理數趨近它們，卻永遠無法抵達。為了建立一個讓每個這樣的數列都有歸宿的數系，你需要一種精確的方式來表達「收斂到某物」，即使你還不知道那個某物是什麼。

柯西數列：無需命名目的地的收斂

極限的定義要求你預先命名極限 LL。當 LL 正是你試圖構造的未知數時，這是不可能的。取而代之，使用一個僅涉及各項本身的條件。

有理數數列 (qn)(q_n) 是一個柯西數列（Cauchy sequence），若對每個 ε>0\varepsilon > 0 都存在 N∈NN \in \mathbb{N} 使得

m,  n≥N  ⟹  ∣qm−qn∣<ε.(1)m,\; n \geq N \implies |q_m - q_n| < \varepsilon. \tag{1}

收斂問詢「各項是否最終在某個固定點 LL 附近停留？」，而柯西條件只問「各項是否最終彼此靠近？」——不需要外部目標。

事實。 每個收斂數列都是柯西數列。*證明提要：*若 qn→Lq_n \to L，則對足夠大的 mm 和 nn，∣qm−L∣|q_m - L| 和 ∣qn−L∣|q_n - L| 都很小；三角不等式給出 ∣qm−qn∣≤∣qm−L∣+∣L−qn∣|q_m - q_n| \leq |q_m - L| + |L - q_n|，也很小。□\square

逆命題在 Q\mathbb{Q} 中不成立：數列 1,1.4,1.41,…1, 1.4, 1.41, \ldots 是柯西數列，卻在 Q\mathbb{Q} 中無處收斂。有理數並不完備。

核心思想：R=Q‾\mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}}

由閉包的知識可知，集合 AA 的閉包 A‾\overline{A} 等於 AA 連同其所有聚點。在度量空間中，xx 是 AA 的聚點當 AA 中某個數列收斂到 xx 時。

對 Q\mathbb{Q} 取閉包意味著添入所有有理數列能收斂到的點。目標是

R  ≔  Q‾.(2)\mathbb{R} \;\coloneqq\; \overline{\mathbb{Q}}. \tag{2}

這裡有一個微妙之處：取閉包需要一個包含它的環境空間，但那個環境空間正是你試圖構造的東西。解決方法是從柯西數列出發具體構造 R\mathbb{R}，然後事後驗證 (2)(2) 成立。

構造 R\mathbb{R}

柯西數列的等價類

設 C\mathcal{C} 是 Q\mathbb{Q} 中所有柯西數列的集合。稱兩個數列 (pn),(qn)∈C(p_n), (q_n) \in \mathcal{C} 等價，記作 (pn)∼(qn)(p_n) \sim (q_n)，若

∣pn−qn∣→0as n→∞.(3)|p_n - q_n| \to 0 \quad \text{as } n \to \infty. \tag{3}

直觀地說：它們瞄準同一個目標。條件 (3)(3) 是一個等價關係（它是自反的、對稱的、傳遞的——逐一驗證即可），故它將 C\mathcal{C} 劃分為不相交的等價類。定義

R  ≔  C/∼.\mathbb{R} \;\coloneqq\; \mathcal{C}/{\sim}.

每個類 [(qn)][(q_n)] 代表其中所有數列共同指向的唯一「預期極限」。1,1.4,1.41,…1, 1.4, 1.41, \ldots 所在的類就是我們將要稱為 2\sqrt{2} 的那個。常數數列 (3,3,3,…)(3, 3, 3, \ldots) 所在的類就是有理數 33。

將 Q\mathbb{Q} 嵌入 R\mathbb{R}

將每個有理數 qq 送到常數數列所在的類：

ι ⁣:Q→R,q  ↦  [(q, q, q, …)].\iota \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, \quad q \;\mapsto\; [(q,\, q,\, q,\, \ldots)].

兩個不同的有理數給出不等價的常數數列，故 ι\iota 是單射的：Q\mathbb{Q} 無衝突地嵌入 R\mathbb{R}。從現在起，將每個 q∈Qq \in \mathbb{Q} 與 ι(q)∈R\iota(q) \in \mathbb{R} 等同，記 Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}。

算術運算與序關係

運算在代表元上逐項定義：

[(pn)]+[(qn)]  ≔  [(pn+qn)],[(pn)]⋅[(qn)]  ≔  [(pn⋅qn)].(4)[(p_n)] + [(q_n)] \;\coloneqq\; [(p_n + q_n)], \qquad [(p_n)] \cdot [(q_n)] \;\coloneqq\; [(p_n \cdot q_n)]. \tag{4}

兩者都定義良好：柯西數列的逐項和與積仍是柯西數列，且將代表元換成等價的數列不改變結果的類。除法類似地定義，排除各項趨向 00 的那個類。有了這些運算，R\mathbb{R} 是一個擴展 Q\mathbb{Q} 的體（field）。

當 qn−pn≥δq_n - p_n \geq \delta（對某個固定 δ>0\delta > 0 以及足夠大的所有 nn）時，聲明 [(pn)]<[(qn)][(p_n)] < [(q_n)]。這使 R\mathbb{R} 成為一個有序體（ordered field），其序關係是 Q\mathbb{Q} 上序關係的延伸。

R\mathbb{R} 上的度量

設 ∣[(qn)]∣≔[(∣qn∣)]|[(q_n)]| \coloneqq [(|q_n|)]，d(x,y)≔∣x−y∣d(x, y) \coloneqq |x - y|。這為 R\mathbb{R} 提供了度量空間結構，延伸了 Q\mathbb{Q} 上的度量空間結構。

R\mathbb{R} 的關鍵性質

Q\mathbb{Q} 是稠密的：Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}

定理。 每個實數都是某個有理數列的極限。

證明。 設 x=[(qn)]∈Rx = [(q_n)] \in \mathbb{R}。將每個有理數 qnq_n 透過 ι\iota 嵌入 R\mathbb{R}，視為 R\mathbb{R} 的元素。固定 ε>0\varepsilon > 0。柯西條件 (1)(1) 給出 N∈NN \in \mathbb{N} 使得對所有 m,n≥Nm, n \geq N 有 ∣qm−qn∣<ε|q_m - q_n| < \varepsilon。對任意固定的 n≥Nn \geq N，實數 ∣x−qn∣=[(∣qm−qn∣)m]|x - q_n| = [(|q_m - q_n|)_m] 滿足對每個 m≥Nm \geq N 有 ∣qm−qn∣<ε|q_m - q_n| < \varepsilon，故——由 R\mathbb{R} 上的序關係——∣x−qn∣≤ε|x - q_n| \leq \varepsilon。由於 ε\varepsilon 是任意的，qn→xq_n \to x。由於 xx 是任意的，每個實數都是有理數列的極限，故 Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}。□\square

這確認了 (2)(2)：此構造恰好給出了我們所追求的 Q\mathbb{Q} 的閉包。

完備性

定理。 R\mathbb{R} 中的每個柯西數列都在 R\mathbb{R} 中收斂。

證明提要。 設 (xk)(x_k) 是 R\mathbb{R} 中的柯西數列。由稠密性，對每個 kk 選取有理數 rkr_k 使得 ∣rk−xk∣<1/k|r_k - x_k| < 1/k。數列 (rk)(r_k) 在 Q\mathbb{Q} 中是柯西數列：

∣rj−rk∣  ≤  ∣rj−xj∣+∣xj−xk∣+∣xk−rk∣  <  1j+∣xj−xk∣+1k,|r_j - r_k| \;\leq\; |r_j - x_j| + |x_j - x_k| + |x_k - r_k| \;<\; \frac{1}{j} + |x_j - x_k| + \frac{1}{k},

由於 (xk)(x_k) 是柯西數列，對足夠大的 jj 和 kk 這個值很小。定義 x≔[(rk)]∈Rx \coloneqq [(r_k)] \in \mathbb{R}。則 ∣xk−x∣≤∣xk−rk∣+∣rk−x∣<1/k+∣rk−x∣|x_k - x| \leq |x_k - r_k| + |r_k - x| < 1/k + |r_k - x|，而由稠密性應用於數列 (rk)(r_k) 可知 rk→xr_k \to x，故 xk→xx_k \to x。□\square

完備性是整個構造的回報：R\mathbb{R} 中的每個柯西數列都在 R\mathbb{R} 中收斂，不再有空隙。

唯一性

在有序體同構的意義下，R\mathbb{R} 是唯一的完備有序體。任何其他構造——例如戴德金分割（Dedekind cuts）——都給出相同的數學對象，與此構造之間由一個保序的體同構相聯繫。這就是為什麼不同的實數定義方式在實際使用中可以互換。

摘要

  • Q\mathbb{Q} 有空隙：有理數的柯西數列不一定在 Q\mathbb{Q} 中收斂。
  • 柯西數列 (qn)(q_n) 滿足當 m,n→∞m, n \to \infty 時 ∣qm−qn∣→0|q_m - q_n| \to 0——是內部聚集，無需外部目標。
  • 實數 R=C/∼\mathbb{R} = \mathcal{C}/{\sim} 是 Q\mathbb{Q} 中柯西數列的等價類，其中兩個數列等價當且唯當它們的逐項差趨向 00。
  • Q\mathbb{Q} 在 R\mathbb{R} 中是稠密的：Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}，故每個實數都是有理數列的極限——正是我們所追求的閉包 (2)(2)。
  • R\mathbb{R} 是完備的：每個實數的柯西數列都在 R\mathbb{R} 中收斂。
  • 這些性質合在一起使 R\mathbb{R} 成為在同構意義下唯一的完備有序體。