數列的極限

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先備知識

度量空間中的數列是一個無窮點列，它可能——也可能不——趨向某個目標。**收斂（convergence）**利用度量將「趨向目標」的直觀概念精確化。

度量空間中的數列

設 (X,d)(X, d) 是一個度量空間。XX 中的一個數列（sequence）是一個函式 N→X\mathbb{N} \to X，記作 (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} 或簡記為 (xn)(x_n)。每個 xn∈Xx_n \in X 是數列的第 nn 個項（term）。

當 X=RX = \mathbb{R} 配上 d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x - y| 時，這就是我們熟悉的實數數列。但同樣的定義在 Rk\mathbb{R}^k、函數空間或任何其他度量空間中都同樣適用——距離 dd 承擔了所有工作。

收斂的定義

(X,d)(X, d) 中的數列 (xn)(x_n) 收斂到點 L∈XL \in X，若對每個 ε>0\varepsilon > 0 都存在 N∈NN \in \mathbb{N} 使得

n≥N  ⟹  d(xn, L)<ε.(1)n \geq N \implies d(x_n,\, L) < \varepsilon. \tag{1}

當此條件成立時，LL 是數列的極限（limit），記作

lim⁡n→∞xn=Lorxn→L as n→∞.\lim_{n \to \infty} x_n = L \qquad \text{or} \qquad x_n \to L \text{ as } n \to \infty.

解讀條件 (1)(1)：你以任意小的容忍度 ε>0\varepsilon > 0 挑戰數列。數列必須最終進入開球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) 並停留在那裡——即從某個下標 NN 開始，之後的每一項 xnx_n 都在 LL 的距離 ε\varepsilon 之內。若數列對每個 ε\varepsilon 都通過這個測試，它就收斂到 LL。

收斂到某個極限的數列稱為收斂數列；否則稱為發散數列。

鄰域刻畫

條件 (1)(1) 可以用鄰域重新簡潔地表述：

數列 (xn)(x_n) 收斂到 LL，若且唯若 LL 的每個鄰域都包含數列除有限項以外的所有項。

兩者等價的原因。 若 NN 是 LL 的鄰域，它包含某個開球 B(L,ε)B(L, \varepsilon)。由 (1)(1)，每個 n≥Nn \geq N 的項 xnx_n 都在 B(L,ε)⊆NB(L, \varepsilon) \subseteq \mathcal{N} 中，所以至多前 N−1N - 1 項可能在 N\mathcal{N} 之外——有限多項。反之，給定任意 ε>0\varepsilon > 0，球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) 本身就是 LL 的鄰域，故由假設它包含除有限項以外的所有項；將最大的被排除下標記為 N−1N - 1 就恢復了條件 (1)(1)。

鄰域形式在抽象證明中往往更方便，因為你不需要給出明確的 ε\varepsilon。

極限的唯一性

定理。 若度量空間中的數列 (xn)(x_n) 收斂，其極限唯一。

證明。 假設 xn→Lx_n \to L 且 xn→L′x_n \to L'。固定任意 ε>0\varepsilon > 0。選取 N1N_1 使得對所有 n≥N1n \geq N_1 有 d(xn,L)<ε/2d(x_n, L) < \varepsilon / 2，選取 N2N_2 使得對所有 n≥N2n \geq N_2 有 d(xn,L′)<ε/2d(x_n, L') < \varepsilon / 2。對任意 n≥max⁡(N1,N2)n \geq \max(N_1, N_2)，三角不等式給出

d(L,L′)≤d(L,xn)+d(xn,L′)<ε2+ε2=ε.d(L, L') \leq d(L, x_n) + d(x_n, L') < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

由於 ε>0\varepsilon > 0 是任意的且 d(L,L′)≥0d(L, L') \geq 0，我們得出 d(L,L′)=0d(L, L') = 0，從而 L=L′L = L'。□\square

唯一性正是寫 lim⁡n→∞xn=L\lim_{n \to \infty} x_n = L 的依據——將極限視為那個極限，而非某個極限。

例子

常數數列。 若對所有 nn 有 xn=cx_n = c，則對每個 nn 和每個 ε>0\varepsilon > 0 都有 d(xn,c)=0<εd(x_n, c) = 0 < \varepsilon，故 xn→cx_n \to c。

R2\mathbb{R}^2 中的數列。 設 xn=(1/n, 1/n2)∈R2x_n = (1/n,\, 1/n^2) \in \mathbb{R}^2 配上歐氏距離。則

d ⁣(xn, (0,0))=1n2+1n4≤1n+1n2.d\!\left(x_n,\, (0,0)\right) = \sqrt{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.

右端趨向 00，故 xn→(0,0)x_n \to (0, 0)。

離散度量。 在配有離散度量的空間中，d(xn,L)<εd(x_n, L) < \varepsilon（ε≤1\varepsilon \leq 1）迫使 xn=Lx_n = L。因此數列收斂到 LL 若且唯若它最終常數為 LL——即對所有足夠大的 nn，xn=Lx_n = L。

最後這個例子說明，即使是相同的底層集合，「收斂」在不同度量下的面貌可以截然不同。

摘要

  • 數列 (xn)(x_n) 在 (X,d)(X, d) 中收斂到 LL，若對每個 ε>0\varepsilon > 0，除有限項外所有項都在球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) 內。
  • 等價地，LL 的每個鄰域都包含數列除有限項以外的所有項。
  • 極限存在時是唯一的——由三角不等式證明。
  • 此定義在任意度量空間中都成立；它並非 R\mathbb{R} 所特有。