数列の極限

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前提知識

距離空間における数列とは、ある目標に収束するかもしれない——あるいはしないかもしれない——点の無限リストだ。**収束（convergence）**は「収束していく」という直感を、計量を使って正確にする。

距離空間における数列

(X,d)(X, d) を距離空間とする。XX における**数列（sequence）**とは N→X\mathbb{N} \to X という関数であり、(xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} あるいは単に (xn)(x_n) と書く。各 xn∈Xx_n \in X は数列の第 nn **項（term）**だ。

X=RX = \mathbb{R}、d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x - y| のときはおなじみの実数列の設定だ。しかし同じ定義は Rk\mathbb{R}^k、関数空間、その他任意の距離空間でも同様に機能する——距離 dd がすべての役割を果たす。

収束の定義

(X,d)(X, d) における数列 (xn)(x_n) が点 L∈XL \in X に**収束する（converges）**とは、すべての ε>0\varepsilon > 0 に対してある N∈NN \in \mathbb{N} が存在して

n≥N  ⟹  d(xn, L)<ε(1)n \geq N \implies d(x_n,\, L) < \varepsilon \tag{1}

が成り立つことをいう。

これが成り立つとき、LL を数列の**極限（limit）**といい、

lim⁡n→∞xn=Lあるいはxn→L(n→∞)\lim_{n \to \infty} x_n = L \qquad \text{あるいは} \qquad x_n \to L \quad (n \to \infty)

と書く。

条件 (1)(1) をほぐして考えよう：任意の許容誤差 ε>0\varepsilon > 0 を突きつけられる。数列はいつかは開球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) に入り、そこに留まり続けなければならない——つまりある添字 NN 以降、すべての項 xnx_n が LL から距離 ε\varepsilon 以内に収まる。このテストをすべての ε\varepsilon に対してパスすれば、数列は LL に収束する。

何らかの極限に収束する数列を収束列、そうでないものを**発散列（divergent）**という。

近傍による特徴づけ

条件 (1)(1) は近傍を使って次のように言い換えられる：

数列 (xn)(x_n) が LL に収束するとは、LL のすべての近傍が数列の有限個を除くすべての項を含むことと同値だ。

同値であることの理由。 N\mathcal{N} が LL の近傍であれば、ある開球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) を含む。(1)(1) より、n≥Nn \geq N を満たすすべての項 xnx_n は B(L,ε)⊆NB(L, \varepsilon) \subseteq \mathcal{N} に属するので、N\mathcal{N} の外にある項は最初の N−1N - 1 項以下——有限個だ。逆に、任意の ε>0\varepsilon > 0 に対して球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) それ自体が LL の近傍なので、仮定より有限個を除くすべての項を含む。除かれた最大の添字を N−1N - 1 とすれば条件 (1)(1) が復元される。

近傍形式は抽象的な証明でしばしば便利だ。明示的な ε\varepsilon を提示する必要がないからだ。

極限の一意性

定理。 距離空間における収束する数列は極限が一意だ。

証明。 xn→Lx_n \to L かつ xn→L′x_n \to L' と仮定する。任意の ε>0\varepsilon > 0 を固定する。n≥N1n \geq N_1 でのすべての nn に対して d(xn,L)<ε/2d(x_n, L) < \varepsilon / 2 となる N1N_1 を選び、n≥N2n \geq N_2 でのすべての nn に対して d(xn,L′)<ε/2d(x_n, L') < \varepsilon / 2 となる N2N_2 を選ぶ。n≥max⁡(N1,N2)n \geq \max(N_1, N_2) を満たす任意の nn に対して、三角不等式より

d(L,L′)≤d(L,xn)+d(xn,L′)<ε2+ε2=ε.d(L, L') \leq d(L, x_n) + d(x_n, L') < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

ε>0\varepsilon > 0 は任意であり d(L,L′)≥0d(L, L') \geq 0 だから、d(L,L′)=0d(L, L') = 0、すなわち L=L′L = L' が結論される。□\square

一意性があるから lim⁡n→∞xn=L\lim_{n \to \infty} x_n = L と書くことが正当化される——「ある極限」ではなく「その極限」として扱えるのだ。

例

定数列。 すべての nn に対して xn=cx_n = c ならば、d(xn,c)=0<εd(x_n, c) = 0 < \varepsilon がすべての nn とすべての ε>0\varepsilon > 0 に対して成り立つので xn→cx_n \to c。

R2\mathbb{R}^2 における数列。 xn=(1/n, 1/n2)∈R2x_n = (1/n,\, 1/n^2) \in \mathbb{R}^2 をユークリッド計量で考える。すると

d ⁣(xn, (0,0))=1n2+1n4≤1n+1n2.d\!\left(x_n,\, (0,0)\right) = \sqrt{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.

右辺は 00 に近づくので xn→(0,0)x_n \to (0, 0)。

離散計量。 離散計量をもつ空間では、ε≤1\varepsilon \leq 1 のとき d(xn,L)<εd(x_n, L) < \varepsilon であれば xn=Lx_n = L が強制される。したがって数列が LL に収束するのは、LL で最終的に定数になる場合——すなわち十分大きい nn に対して xn=Lx_n = L となる場合——に限る。

この最後の例は、同じ集合の上でも計量が変わると「収束」の見え方が大きく異なりうることを示している。

まとめ

  • 数列 (xn)(x_n) が (X,d)(X, d) において LL に収束するとは、すべての ε>0\varepsilon > 0 に対して有限個を除くすべての項が球 B(L,ε)B(L, \varepsilon) の内部にあることだ。
  • 同値な言い方：LL のすべての近傍が有限個を除くすべての項を含む。
  • 極限は存在するとき一意——三角不等式によって証明される。
  • この定義は任意の距離空間で機能する；R\mathbb{R} に特有のものは何もない。