度量空間 — Project Hematite

想像你正在導航一座城市、按照聲音的相似程度對歌曲排名，或逐字元比較兩段文字。在這每一種情況下，你的底層都在做同一件事：量測距離。**度量空間（metric space）**是精確捕捉這個概念的數學方式——在任何情境中都適用，不只是物理空間。

為什麼「距離」需要規則

你對距離應該意味著什麼已經有了強烈的直覺。不用思考，你就會預期：

這四個預期不只是對城市街區的常識。它們其實是讓任何「接近程度」概念以一致、有用的方式運作所需要的唯一規則。整個度量空間理論就建立在它們之上。

**度量空間（metric space）**是一個數對 $(X, d)$ ，其中：

$X$ 是任何非空集合——你空間中「點」的集合，以及
$d : X \times X \to \mathbb{R}$ 是一個叫做度量（metric）（或距離函式（distance function））的函式，把每對點映射到一個實數。

對所有 $x, y, z \in X$ ，度量 $d$ 必須滿足這四條規則：

規則 1——非負性（Non-negativity）。

d(x, y) \geq 0 \tag{1}

距離永遠不是負數。你不可能「在某個東西負三公尺之外」。

規則 2——同一性（Identity of indiscernibles）。

d(x, y) = 0 \iff x = y \tag{2}

距離為零當且僅當兩個點相同。任何兩個不同的點之間必須有嚴格正的距離。

規則 3——對稱性（Symmetry）。

d(x, y) = d(y, x) \tag{3}

距離是雙向的。從 $x$ 到 $y$ 的距離等於從 $y$ 到 $x$ 的距離。對於物理空間這感覺顯而易見，但當你為奇特空間發明新的度量時，你仍然需要明確地驗證它。

規則 4——三角不等式（Triangle inequality）。

d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \tag{4}

透過第三個點 $y$ 的任何繞道，至少和從 $x$ 到 $z$ 的直接路線一樣長。這條規則防止距離以荒謬、不一致的方式表現。

任何滿足所有四條規則的函式都可以稱為度量。

設 $X = \mathbb{R}$ （所有實數）。定義：

d(x, y) \coloneqq |x - y|

這是兩個數之間的絕對差。你可以驗證所有四條規則：

所以 $(\mathbb{R},\, |\cdot - \cdot|)$ 是一個度量空間。這可能是最熟悉的度量。

設 $X = \mathbb{R}^2$ （所有實數對，表示平面上的點）。定義：

d\!\left((x_1, x_2),\, (y_1, y_2)\right) \coloneqq \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}

這是直線距離的畢氏公式。你肯定用過它；它叫做歐幾里得度量（Euclidean metric），帶有這個度量的 $(\mathbb{R}^2, d)$ 就是歐幾里得空間（Euclidean space）。

這是一個不那麼顯而易見的例子。取任何非空集合 $X$ ，定義：

d(x, y) \coloneqq \begin{cases} 0 & \text{若 } x = y \\ 1 & \text{若 } x \neq y \end{cases}

每對不同的點之間的距離恰好是 $1$ ，不管這些點實際上是什麼。聽起來很荒謬，但它滿足所有四條規則——你可以逐一驗證——所以它確實算作一個度量。**離散度量（discrete metric）**對模擬唯一有意義的問題是「相同還是不同？」的空間很有用。

你可能會想：為什麼要這麼麻煩？為什麼不只用歐幾里得度量然後繼續？

答案是抽象讓你能一次證明某件事，並讓它自動適用到任何地方。考慮一個點的序列越來越接近某個極限的概念。在度量空間中，你可以精確地定義這個：

一個序列 $x_1, x_2, x_3, \ldots$ **收斂（converges）**到點 $L$ ，如果對每個 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N$ 使得對所有 $n > N$ 有 $d(x_n, L) < \varepsilon$ 。

用通俗的語言說：最終序列中所有的點都在你選擇的任何距離 $\varepsilon$ 之內。因為定義只使用 $d$ ，它同樣適用於：

你用只有四條規則一次性地證明一個收斂定理，立即就在每個存在的或將來會被發明的度量空間中得到結果。

度量空間 $(X, d)$ 是集合 $X$ 加上一個距離函式 $d$ ，它滿足四條規則：非負性 $(1)$ 、同一性 $(2)$ 、對稱性 $(3)$ 和三角不等式 $(4)$ 。
帶有 $d(x, y) = |x - y|$ 的實數線、帶有畢氏公式的歐幾里得平面，以及離散度量都是有效的度量空間——非常不同的情境，全都建立在同樣的四條規則上。
抽象的距離讓你能一次性地定義像**收斂（convergence）**這樣的重要概念，並同時把它們應用到每個度量空間中。
度量空間是拓撲學（topology）和數學分析的基本建立塊之一。