開球與閉球 — Project Hematite

在度量空間（metric space）中工作時，你需要一種精確的方式來描述所有「接近」某個中心的點。**球（ball）**正好提供了這一點——它是度量空間中區間在實數線上的類比，幾乎出現在分析學的每一個定義裡。

開球

設 $(X, d)$ 是一個度量空間， $x \in X$ ， $r > 0$ 。以 $x$ 為中心、 $r$ 為半徑的**開球（open ball）**定義為

B(x, r) \coloneqq \{ y \in X : d(x, y) < r \}.

$B(x, r)$ 內的每個點與中心的距離都嚴格小於 $r$ 。恰好距離為 $r$ 的點——即「邊界」——被排除在外。

以下是幾個具體空間中的樣貌：

$\mathbb{R}$ 配上 $d(x, y) = |x - y|$ 。 $B(a, r)$ 是開區間 $(a - r,\, a + r)$ 。
$\mathbb{R}^2$ 配上歐氏距離（Euclidean metric）。 $B(x, r)$ 是半徑為 $r$ 的開圓盤——圓的內部，不含圓本身。
離散度量（discrete metric）（ $d(x, y) = 0$ $d (x, y) = 0$ 若 $x = y$ $x = y$ ，否則 $d(x, y) = 1$ $d (x, y) = 1$ ）：
- 當 $r \leq 1$ ： $B(x, r) = \{x\}$ ——只有中心點符合。
- 當 $r > 1$ ： $B(x, r) = X$ ——所有點都符合。

離散度量的例子是一個有用的提醒：球的「形狀」完全由度量決定，而非由你腦中任何幾何圖像所決定。

以 $x$ 為中心、 $r \geq 0$ 為半徑的**閉球（closed ball）**定義為

\bar{B}(x, r) \coloneqq \{ y \in X : d(x, y) \leq r \}.

與開球唯一的不同在於將 $<$ 換成 $\leq$ ：距離恰好為 $r$ 的點現在也被納入。

在 $\mathbb{R}$ 中， $\bar{B}(a, r) = [a - r,\, a + r]$ ——即閉區間。

包含關係 $B(x, r) \subseteq \bar{B}(x, r)$ 恆成立。在 $\mathbb{R}^n$ 等熟悉的空間中，閉球是開球的拓撲閉包——但這在每個度量空間中未必成立。

有時你會見到去心開球（punctured open ball）

\dot{B}(x, r) \coloneqq B(x, r) \setminus \{x\} = \{ y \in X : 0 < d(x, y) < r \},

它排除了中心點本身。這在定義極限（limit）時自然出現，因為你關心的是趨近 $x$ 的點，而不是 $x$ 本身。

分析學中幾乎所有基本概念——開集、收斂、連續、緊緻——都用球來定義。當你遇到「存在 $\varepsilon > 0$ 使得……」這樣的定義時，你幾乎肯定是在看一個偽裝的球。現在熟悉球，能讓後續的每個定義都感覺自然而然。