開球と閉球

距離空間で仕事をするとき、ある中心から「近い」点をすべて正確に記述する方法が必要になる。**ボール（ball）**はまさにそのための道具だ——数直線上の区間を距離空間に一般化したものであり、解析学のほぼすべての定義に顔を出す。

開球

$(X, d)$ を距離空間とし、$x \in X$、$r > 0$ とする。$x$ を中心、半径 $r$ の**開球（open ball）**を次のように定義する：

$$B(x, r) \coloneqq \{ y \in X : d(x, y) < r \}.$$

$B(x, r)$ に含まれる点はすべて中心から距離が厳密に $r$ 未満だ。距離がちょうど $r$ の点——「境界」——は含まれない。

具体的な空間でそれぞれ確認してみよう：

• $d(x, y) = |x - y|$ の $\mathbb{R}$：$B(a, r)$ は開区間 $(a - r,\, a + r)$。
• ユークリッド計量の $\mathbb{R}^2$：$B(x, r)$ は半径 $r$ の開円板——円の内部で、円周は含まない。
• 離散計量（$x = y$ なら $d(x,y)=0$、それ以外は $d(x,y)=1$）：
  • $r \leq 1$ のとき：$B(x, r) = \{x\}$——中心だけが該当する。
  • $r > 1$ のとき：$B(x, r) = X$——すべての点が該当する。

離散計量の例は重要な注意を与えてくれる：ボールの「形」は計量によって完全に決まるのであって、頭の中にある幾何学的なイメージによるのではない。

閉球

$x$ を中心、半径 $r \geq 0$ の**閉球（closed ball）**を次のように定義する：

$$\bar{B}(x, r) \coloneqq \{ y \in X : d(x, y) \leq r \}.$$

開球との唯一の違いは $<$ が $\leq$ になった点だ：距離がちょうど $r$ の点も含まれる。

$\mathbb{R}$ では $\bar{B}(a, r) = [a - r,\, a + r]$——閉区間になる。

二つを比べると

	開球 $B(x, r)$	閉球 $\bar{B}(x, r)$
境界	含まない	含む
条件	$d(x, y) < r$	$d(x, y) \leq r$
$\mathbb{R}$ での対応	$(a-r,\, a+r)$	$[a-r,\, a+r]$

$B(x, r) \subseteq \bar{B}(x, r)$ は常に成り立つ。$\mathbb{R}^n$ のような馴染みある空間では閉球は開球の位相的閉包に一致するが、すべての距離空間でそうなるとは限らない。

穿孔球

穿孔開球（punctured open ball）

$$\dot{B}(x, r) \coloneqq B(x, r) \setminus \{x\} = \{ y \in X : 0 < d(x, y) < r \}$$

は中心そのものを除いたものだ。$x$ に近づく点には関心があるが $x$ 自身には関心がないという状況——極限の定義——で自然に登場する。

ボールが重要な理由

解析学の基本概念——開集合、収束（convergence）、連続性、コンパクト性——のほぼすべてがボールを使って定義される。「$\varepsilon > 0$ が存在して……」という定義を見かけたとき、それはほぼ確実にボールが形を変えて登場している。ボールに今慣れておくと、その後の定義がすべて自然に感じられるようになる。

まとめ

• 開球 $B(x, r)$ は中心 $x$ から距離が厳密に $r$ 未満のすべての点を含む。
• 閉球 $\bar{B}(x, r)$ は距離がちょうど $r$ の点もさらに含む。
• ボールの形は計量によって完全に決まる——「丸く」見える必要はない。
• 穿孔球 $\dot{B}(x, r)$ は中心を除いたもので、極限の定義に現れる。
• ボールは任意の距離空間で「近さ」を正確に表す主要な道具だ。