位相空間 — Project Hematite

これまでに学んだ「近さ」に関するあらゆる概念 — 収束（convergence）、極限（limit）、連続性（continuity）— はすべて距離関数（distance function）を使って定義されていた。 $\mathbb{R}^n$ ではそれで十分だが、数学やコンピュータサイエンスに自然に現れる空間の多くには、距離という概念がそもそも存在しない。位相空間（topological space）を使うと、そうした理論をすべて、距離関数を手放したまま展開できるようになる。

距離空間から得られる核心的な洞察

距離空間（metric space） $(X, d)$ において、集合 $U \subseteq X$ が開集合（open set）であるとは、 $U$ 内のすべての点のまわりに $U$ にすっぽり収まる開球が存在することをいう：

U \text{ が開} \iff \forall x \in U,\ \exists r > 0 : B(x, r) \subseteq U.

この開集合の族さえあれば、収束・連続性・連結性などの主要な概念を開集合への属しているかどうかだけで言い換えられる。距離そのものは各命題から消えてしまう。

肝心な洞察はこうだ：仕事をしているのは開集合の方であって、距離関数はあくまでそれを生成する一つの手段にすぎない。

位相の公理

では立ち止まって考えてほしい。距離空間における開集合の族は実際どのような性質を持つか？任意の距離空間について次の三事実を確認できる：

空集合 $\varnothing$ と全体集合 $X$ はともに開集合である。
開集合のいかなる合併（無限個でも）も開集合である。
開集合の有限個の共通部分も開集合である。

無限個の共通部分は開集合であることが要求されない点に注意してほしい。 $\mathbb{R}$ では $\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right) = \{0\}$ となり、一点集合は閉集合であって開集合ではない。

これら三事実を公理として採用しよう。位相は、この三性質が必要とするもの以外をすべて取り除いた概念だ。

定義. 集合 $X$ 上の位相（topology）とは、 $X$ の部分集合の族 $\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$ であって次を満たすものをいう：

\text{(T1)} \quad \varnothing \in \tau \text{ かつ } X \in \tau, \tag{1}

\text{(T2)} \quad \text{すべての } \alpha \in I \text{ について } U_\alpha \in \tau \text{ ならば } \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \in \tau, \tag{2}

\text{(T3)} \quad U_1, \ldots, U_n \in \tau \text{ ならば } U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau. \tag{3}

組 $(X, \tau)$ を位相空間と呼ぶ。 $\tau$ の元をその位相の開集合という。

すべての距離空間は自動的に位相空間になる：距離的な意味で開であるすべての集合の族を $\tau$ とすれば、上で確認したとおり三公理が成立する。

三つの基本的な例

離散位相

$X$ を任意の集合とし、 $\tau \coloneqq \mathcal{P}(X)$ とする — $X$ のあらゆる部分集合を開と宣言する。これが離散位相（discrete topology）だ。T1–T3 はすぐ確認できる：部分集合の合併と有限共通部分もまた部分集合である。

離散位相は $X$ 上で最も「細かい」（finest）位相だ：開集合が最も多い。離散距離関数（ $x \neq y$ のとき $d(x, y) = 1$ ）に対応しており、すべての一点集合 $\{x\}$ が開球となる。

密着位相

反対の極端として $\tau \coloneqq \{\varnothing, X\}$ とする — 空集合と全体集合だけが開集合だ。これが密着位相（indiscrete topology）、または自明な位相（trivial topology）だ。T1 は定義そのものであり、T2 と T3 は二元素しかない簡単なケースに帰着する。

密着位相は $X$ 上で最も「粗い」（coarsest）位相だ：開集合が最も少ない。二点以上の集合に対して距離関数から生成することはできない。

距離位相

距離空間 $(X, d)$ が与えられたとき、

\tau_d \coloneqq \{ U \subseteq X : \forall x \in U,\ \exists r > 0 : B(x, r) \subseteq U \}

は $X$ 上の位相であり、 $d$ が誘導する距離位相（metric topology）と呼ばれる。これが距離空間と位相空間の橋渡しになる：すべての距離空間はこの構成によって「位相空間である」が、すべての位相空間が距離から来るわけではない。

開集合と閉集合

部分集合 $C \subseteq X$ がその補集合 $X \setminus C$ を開集合に持つとき、 $C$ を閉集合（closed set）という。

注意してほしいのは、「閉」は日常語の意味で「開」の反対ではないという点だ。集合は次の四状態のいずれかになりうる：

開だが閉でない：標準的な距離位相における $\mathbb{R}$ の $(0, 1)$ 。
閉だが開でない：同じ位相での $[0, 1]$ 。
開でも閉でもある（開閉集合（clopen））： $\varnothing$ と $X$ は常に開閉集合だ。非連結な空間では他にも開閉集合が存在しうる。
開でも閉でもない： $\mathbb{R}$ における $[0, 1)$ 。

ド・モルガンの法則を使って T1–T3 を閉集合で言い換えると：

$\varnothing$ と $X$ は閉集合である。
閉集合の有限個の合併は閉集合である。
閉集合のいかなる共通部分（無限個でも）も閉集合である。

これは繰り返し現れる有用な双対的な絵だ。

同じ集合上の位相の比較

同じ集合 $X$ の上に異なる二つの位相が共存できる。 $\tau_1 \subseteq \tau_2$ — $\tau_1$ のすべての開集合が $\tau_2$ でも開 — であるとき、 $\tau_2$ は $\tau_1$ より細かい（finer）という（ $\tau_1$ は $\tau_2$ より粗い（coarser））。細かいとは開集合が多いことであり、より精密な「近さ」の概念に対応する。

離散位相は $X$ 上のあらゆる位相より細かく、密着位相はあらゆる位相より粗い。

一般に、同じ集合上の二つの位相は必ずしも比較可能ではなく、どちらもどちらの部分集合でないことがある。

なぜ距離を手放すのか

その見返りは一般性にある。自然な位相を持ちながら明らかな距離を持たない空間を二つ挙げよう：

ザリスキー位相（Zariski topology）：代数多様体上で、多項式の零点集合の補集合を開集合とする位相。代数幾何学の中心的概念であり、代数的 $K$ 理論を通じて型システムやプログラミング言語の意味論にまで影響が及ぶ。
スコット位相（Scott topology）：半順序集合上で、有向結合（directed join）で閉じた上方閉集合を開集合とする位相。再帰的プログラムに正確な意味を与える表示的意味論（denotational semantics）の数学的基盤となっている。

位相空間の一般性のもとで作業すれば、連続性・収束・コンパクト性をすべてこれらの設定で、単一の定義群を使って語ることができる。

まとめ

位相空間 $(X, \tau)$ とは、三公理を満たす開集合族 $\tau$ を備えた集合 $X$ だ： $\varnothing$ と $X$ は開（T1）、開集合の任意の合併は開（T2）、開集合の有限共通部分は開（T3）。
すべての距離空間は、距離的に開な集合の全体を $\tau$ とすることで位相空間になる。
離散位相（ $\tau = \mathcal{P}(X)$ ）は最も細かく、密着位相（ $\tau = \{\varnothing, X\}$ ）は最も粗い。
補集合が開集合のとき閉集合という；集合は開・閉・両方（開閉集合）・どちらでもないの四状態をとりうる。
一方の位相が他方より多くの開集合を含むとき、細かいという。
抽象化によって距離が取り除かれ、開集合の構造だけが残る — それだけで連続性・収束・連結性をはるかに広い設定で定義するのに十分だ。