集積点

微積分では、数列がある極限に収束したり、引数がある点に近づくにつれて関数が値に近づいたりする場面を見てきたはずだ。どちらの考え方も同じ問いに基づいている：ある点のあらゆる近傍は、どれだけ小さくしても、必ずその集合に「触れる」か？集積点（accumulation point）はこの概念を、距離や数列を一切使わず、任意の位相空間に対して正確に捉える。

定義

$(X, \tau)$ を位相空間とし、$A \subseteq X$ とする。点 $x \in X$ が $A$ の集積点（accumulation point）— 極限点（limit point）または集積点（cluster point）とも呼ばれる — であるとは、$x$ を含むすべての開集合が $A$ の点を $x$ 自身以外に少なくとも一つ含むことをいう：

$$\forall\, U \in \tau,\quad x \in U \implies (U \setminus \{x\}) \cap A \neq \varnothing. \tag{1}$$

すぐに気付くべき点が二つある：

• $x$ は $A$ に属している必要はない。あくまで周囲空間 $X$ の点であり、あらゆる方向から $A$ を「見渡せる」ことが問われる。
• 「$\setminus \{x\}$」の句は意図的なものだ。これがなければ、$A$ のすべての点が自明に条件を満たしてしまう（$U \ni x$ であれば $U \cap A \ni x$）。興味深いのは、$A$ があらゆる近傍において $x$ の「まわりに稠密」かどうかという問いだ。

例

実数直線

標準的な距離位相を持つ $\mathbb{R}$ — 開集合が開区間の合併 — で考える。

• $[0, 1]$ のすべての点は開区間 $(0, 1)$ の集積点だ。任意の $x \in [0, 1]$ と任意の開集合 $U \ni x$ について、$U$ は $x$ のまわりに開区間を含み、それは $x$ 以外の $(0, 1)$ の無限に多くの点と交わる。
• $0$ は $\{1/n : n \in \mathbb{N}^+\}$ の集積点だ：$0$ のまわりの任意の開区間 $(-\varepsilon, \varepsilon)$ は、十分大きな $n$ に対する $1/n$ を含む。
• $\mathbb{Z}$ の点はどれも $\mathbb{Z}$ 自身の集積点ではない。各整数 $n$ は近傍 $(n - \tfrac{1}{2}, n + \tfrac{1}{2})$ を持ち、それは他の整数を含まない。

有限集合

$X = \mathbb{R}$（標準位相）、$A = \{1, 2, 3\}$ とする。$X$ の点はどれも $A$ の集積点にならない。任意の $x \in X$ に対して、$A \setminus \{x\}$ の各元との距離の半分を半径に取れば、$A \setminus \{x\}$ を含まない $x$ の近傍が得られる。距離空間上の有限集合は集積点を持たない。

離散位相

任意の集合 $X$ 上の離散位相（discrete topology）では、すべての一点集合 $\{x\}$ が開集合だ。任意の $A \subseteq X$ と任意の候補点 $x$ に対して、$U = \{x\}$ と取れば $(U \setminus \{x\}) \cap A = \varnothing$ となり、条件 $(1)$ は成立しない。離散位相では、どの集合にも集積点が存在しない。

直感的に理解できる：離散位相では「すべての点が孤立している」ので、近くから近づいてくるという概念がない。

密着位相

$X$ 上の密着位相（indiscrete topology）（$\varnothing$ と $X$ だけが開集合）では、$x$ を含む唯一の開集合は $X$ 自身だ。空でない $A$ と任意の $x \in X$ について、$A \not\subseteq \{x\}$ であれば $(X \setminus \{x\}) \cap A$ は空でない。よって、$|A| \geq 2$ のすべての集合 $A$ に対して、$X$ のすべての点が $A$ の集積点となる。

孤立点

$A$ の点 $x \in A$ であって $A$ の集積点でないものを $A$ の孤立点（isolated point）という：$x$ を含む開集合 $U$ で $(U \setminus \{x\}) \cap A = \varnothing$ となるものが存在する、つまり $U$ 内で $A$ の唯一の元が $x$ 自身であることを意味する。

$A$ の点の中で孤立点と集積点は互いに排他的だ：$x \in A$ はいずれかに必ず属する。孤立点を持たない集合を完全集合（perfect set）という（導来集合と一致する場合 — 導来集合を参照）。

位相が集積点をどう決めるか

同じ集合 $A$ でも位相が変わると集積点は全く異なりうる：

• $\mathbb{R}$ の標準位相では、集合 $\{0\} \cup \{1/n : n \geq 1\}$ の集積点は $0$ だけだ。
• $\varnothing$ と $\mathbb{R}$ だけが開集合の位相では、任意の無限集合のすべての点が集積点になる。
• $\{0\}$ が開集合の位相では、$0$ はもはや $\{1/n : n \geq 1\}$ の集積点ではない。

この柔軟性 — 同じ基礎集合でも位相によって集積点がまったく変わる — こそが抽象的な定義の強みだ。問題に合わせて位相を選べば、集積点はその結果として定まる。

収束との関係

距離空間では、$x$ が $A$ の集積点であることと、$A \setminus \{x\}$ 内の点からなる数列が $x$ に収束することは同値だ。しかし一般の位相空間では、数列だけでは集積点を必ずしも検出できない；それにはネット（net）やフィルター（filter）が必要となるが、それはこのチェックポイントの範囲を超える。

まとめ

• 点 $x \in X$ が $A \subseteq X$ の集積点（極限点、集積点）であるとは、$x$ を含むすべての開集合が $x$ 以外の $A$ の点と交わることをいう。
• $x$ は $A$ に属している必要はない：集積点はメンバーシップではなく、周囲の位相によって決まる。
• 離散位相ではどの集合も集積点を持たない。密着位相では十分大きな集合のすべての点が集積点になる。
• $A$ の点であって集積点でないものを孤立点という。
• 同じ部分集合でも異なる位相は異なる集積点を生む。
• $A$ のすべての集積点を集めた集合が**導来集合** $A'$ であり、$A' \subseteq A$ が $A$ の閉性と同値になる。