聚點（Accumulation Point）

在微積分中，你或許已見過數列收斂到極限，或函式在其自變數趨近某點時趨近某個值。這兩個概念都取決於同一個問題：無論鄰域多小，給定點的每個鄰域是否都被某個集合「觸及」？**聚點（accumulation point）**正是在任意拓撲空間中精確刻畫這一概念，而無需借助距離或數列。

定義

設 $(X, \tau)$ 為拓撲空間， $A \subseteq X$ 。若 $X$ 中的一個點 $x$ 的每個包含 $x$ 的開集都與 $A$ 在除 $x$ 本身以外的至少一個點相交，則稱 $x$ 為 $A$ 的聚點（accumulation point）——也稱為 $A$ 的極限點（limit point）或叢聚點（cluster point）：

\forall\, U \in \tau,\quad x \in U \implies (U \setminus \{x\}) \cap A \neq \varnothing. \tag{1}

有兩點值得立即注意：

$x$ 不必屬於 $A$ 。它是周圍空間 $X$ 中一個在每個方向上都能「看見」 $A$ 的點。
「 $\setminus \{x\}$ 」的寫法是刻意的：我們將 $x$ 本身排除在要求之外。若不排除， $A$ 中的每個點都會平凡地滿足條件（任何包含 $x$ 的開集 $U \ni x$ 都滿足 $U \cap A \ni x$ ）。真正有趣的問題是： $A$ 在 $x$ 的每個開鄰域中是否都是「稠密的」。

範例

實數線

在 $\mathbb{R}$ 中賦予標準度量拓撲，開集是開區間的聯集。

$[0, 1]$ 中的每個點都是開區間 $(0, 1)$ 的聚點。對任意 $x \in [0, 1]$ 和任意包含 $x$ 的開集 $U$ ， $U$ 包含 $x$ 附近的一整個開區間，它必然與 $(0, 1)$ 在除 $x$ 以外的無窮多個點相交。
點 $0$ 是 $\{1/n : n \in \mathbb{N}^+\}$ 的聚點： $0$ 附近的每個開區間 $(-\varepsilon, \varepsilon)$ 對足夠大的 $n$ 都包含 $1/n$ 。
$\mathbb{Z}$ 中沒有任何點是 $\mathbb{Z}$ 本身的聚點。每個整數 $n$ 都有鄰域 $(n - \tfrac{1}{2}, n + \tfrac{1}{2})$ ，其中不含其他整數。

有限集

設 $X = \mathbb{R}$ （標準拓撲）， $A = \{1, 2, 3\}$ 。 $X$ 中沒有任何點是 $A$ 的聚點。對任意 $x \in X$ ，以半徑 $\tfrac{1}{2} \min_{a \in A} |x - a|$ 為半徑（若 $x \notin A$ 則取 $\min = +\infty$ ）在 $x$ 附近的開區間中不含 $A \setminus \{x\}$ 的任何元素。度量空間中的有限集沒有聚點。

離散拓撲

在任意集合 $X$ 上的離散拓撲（discrete topology）中，每個單點集 $\{x\}$ 都是開集。對任意 $A \subseteq X$ 和任意候選點 $x$ ，取 $U = \{x\}$ 則 $(U \setminus \{x\}) \cap A = \varnothing$ ，故條件 $(1)$ 不成立。離散拓撲中任何集合都沒有聚點。

這在直覺上是自然的：在離散拓撲中「每個點都孤立存在」，沒有從附近趨近的概念。

密著拓撲

在 $X$ 上的**密著拓撲（indiscrete topology）**中（只有 $\varnothing$ 和 $X$ 是開集），包含 $x$ 的唯一開集是 $X$ 本身。對任意非空集合 $A$ 和任意 $x \in X$ ，只要 $A \not\subseteq \{x\}$ ， $(X \setminus \{x\}) \cap A$ 就非空。因此， $X$ 中每個點都是每個基數 $|A| \geq 2$ 的集合 $A$ 的聚點。

孤立點

$A$ 中的點 $x$ 若不是 $A$ 的聚點，則稱為 $A$ 的孤立點（isolated point）：存在包含 $x$ 的開集 $U$ 使得 $(U \setminus \{x\}) \cap A = \varnothing$ ，即 $x$ 是 $U$ 中 $A$ 的唯一元素。

孤立點與聚點在 $A$ 的點中互斥： $A$ 中的每個 $x$ 要麼是孤立點，要麼是聚點。沒有孤立點的集合稱為完全集（perfect set）（當它也等於自己的導集時——參見導集）。

拓撲如何塑造聚點

同一個集合 $A$ 在不同拓撲下可以有完全不同的聚點：

在 $\mathbb{R}$ 的標準拓撲中，集合 $\{0\} \cup \{1/n : n \geq 1\}$ 只有 $0$ 是聚點。
在只有 $\varnothing$ 和 $\mathbb{R}$ 是開集的拓撲中， $\mathbb{R}$ 中每個點都是任何無限集的聚點。
在 $\{0\}$ 是開集的拓撲中， $0$ 不再是 $\{1/n : n \geq 1\}$ 的聚點。

這種靈活性——同樣的底層集合在不同拓撲下具有不同的聚點——正是抽象定義如此強大的原因。你選擇適合問題的拓撲，聚點隨之確定。

與收斂的聯繫

在度量空間中， $x$ 是 $A$ 的聚點當且僅當 $A \setminus \{x\}$ 中存在收斂到 $x$ 的數列 $(a_n)$ 。然而在一般拓撲空間中，數列並不總能檢測聚點；你可能需要網（net）或濾子（filter），這超出了本章節的範圍。

摘要

當 $X$ 中的點 $x$ 的每個包含 $x$ 的開集都與 $A \subseteq X$ 在除 $x$ 以外的某個點相交時， $x$ 就是 $A$ 的聚點（極限點、叢聚點）。
$x$ 不必屬於 $A$ ：聚點由周圍的拓撲決定，而非僅由 $A$ 的成員關係決定。
在離散拓撲中，沒有集合有聚點。在密著拓撲中，每個點都是每個足夠大的集合的聚點。
$A$ 中不是 $A$ 的聚點的點稱為孤立點。
同一集合上不同的拓撲對同一子集產生不同的聚點。
$A$ 的所有聚點組成的集合構成**導集** $A'$ ， $A' \subseteq A$ 等價於 $A$ 是閉集。