測度論導論 — Project Hematite

你已經知道區間 $[a, b]$ 的長度是 $b - a$ 。但 $[0, 1]$ 中所有有理數所成集合的「長度」是多少？或是某個由對抗性構造生成、沒有任何顯而易見描述的集合的長度？測度論（measure theory）是嚴格回答這些問題的數學分支——在此過程中，它也成為現代機率論、積分與分析學的基礎。

樸素長度為何不夠用

對於有限個不相交區間的聯集，長度是顯而易見的：把各段長度加起來即可。麻煩在於，當你嘗試對 $\mathbb{R}$ 的更奇特子集賦予長度時問題就出現了。

有理數的測度為零

$\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ 中的有理數在 $[0, 1]$ 上是**稠密（dense）**的：任意兩個實數之間都能找到一個有理數。然而它們只有可數無窮多個——如你在可數集合中所見。測度論化解了這個張力：

\lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0. \tag{1}

直覺如下：將有理數排成一個數列 $q_1, q_2, q_3, \ldots$ ，用長度為 $\varepsilon / 2^k$ 的開區間覆蓋 $q_k$ 。這些區間的聯集覆蓋了 $[0,1]$ 中的每一個有理數，但總長度至多為

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon.

由於 $\varepsilon$ 可以任意小，有理數所占的長度為零——儘管它們無處不在。

並非所有子集都能被測量

真正令人驚訝的是， $\mathbb{R}$ 中存在某些子集，無法一致地賦予長度。**維塔利集（Vitali set）**是典型例子。用等價關係 $x \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q}$ 對 $[0, 1]$ 進行分割。根據選擇公理（Axiom of Choice），從每個等價類中各取一個代表元，構成集合 $V$ 。若你嘗試賦予 $V$ 一個長度 $\lambda(V) \geq 0$ ，你將陷入矛盾：平移集合 $V + q$ （其中 $q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]$ ）兩兩不相交，其聯集覆蓋 $[0, 1]$ ，而——如果長度滿足可數可加性——總長度必須等於 $1$ ，但每個被加項卻是相同的數，無論那個數是 $0$ 還是正數都不可能成立。

由此得到一個教訓：不是每個集合都能被測量。測度論的首要任務是確定哪些集合可以被測量。

測度論的建構方式

解決方案有兩個部分。

首先，與其試圖對每個子集賦予大小，不如將注意力限制在一個精心選擇的子集族——稱為 σ 代數（sigma-algebra）——這是一個在補集運算和可數聯集運算下封閉的集族，在你實際需要的所有集合運算下都保持穩定。維塔利集位於這個族之外。

其次，在 σ 代數上定義一個函式 $\mu$ ，對每個可測集（measurable set）賦予一個非負數（可能為 $+\infty$ ）。關鍵性質是可數可加性（countable additivity）：對兩兩不相交的可測集 $E_1, E_2, \ldots$ ，

\mu\!\left(\bigsqcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k). \tag{2}

集合 $X$ 上的 σ 代數 $\mathcal{F}$ 與滿足 $(2)$ 的測度（measure） $\mu \colon \mathcal{F} \to [0, +\infty]$ 合在一起，構成一個測度空間（measure space） $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 。

接下來的路

在接下來幾個章節中，你將逐步在 $\mathbb{R}$ 上建構勒貝格測度（Lebesgue measure）：

σ 代數 — 測度定義域的精確定義。
外測度 — 一種對所有子集以區間覆蓋定義的初步「大小」；它具有單調性與次可加性，但並非完全可加。
卡拉泰奧多里準則 — 精確篩選出外測度能成為真正測度的那些集合的規則。
勒貝格測度 — 將第 2 步的外測度限制到第 3 步的可測集上，給出 $\mathbb{R}$ 上長度的最終概念。

摘要

區間長度是起點，但將長度推廣到 $\mathbb{R}$ 的任意子集需要謹慎處理。
有理數的測度為零，儘管它們是稠密的：可數集合總可以被總長度任意小的區間覆蓋，如式 $(1)$ 所示。
維塔利集表明，並非 $\mathbb{R}$ 的每個子集都能被賦予一致的長度：測度的定義域必須受到限制。
解決方案是測度空間 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ ：集合 $X$ 、可測子集的 σ 代數 $\mathcal{F}$ ，以及定義在 $\mathcal{F}$ 上的可數可加函式 $\mu$ ——見式 $(2)$ 。
勒貝格測度在接下來的章節中建構，是 $\mathbb{R}$ 上的典型例子。