測度論

檢查點

• 測度論導論 Basis 測度論（measure theory）將長度、面積與體積推廣為單一概念，能對更奇特的集合賦予大小。本章節說明集合測度問題的動機、解釋為何對有理數的樸素長度定義已行不通，並預告 σ 代數（sigma-algebra）與外測度（outer measure）如何修正這些問題。
• 勒貝格測度 Basis 勒貝格測度（Lebesgue measure）是由區間長度建構的外測度，限制到其卡拉泰奧多里可測集上。本章節在 ℝ 上建構勒貝格外測度，確定勒貝格 σ 代數，並計算基本例子——開集、閉集、零測集和平移不變性。
• 卡拉泰奧多里可測性準則 Basis 卡拉泰奧多里準則（Carathéodory's criterion）篩選出外測度能成為真正（可數可加）測度的集合：當 E 能對每個測試集進行可加分割時，E 即為可測。本章節陳述該準則，證明可測集構成 σ 代數，並說明被限制的外測度是完備測度。
• 外測度 Basis 外測度（outer measure）藉由對可數開覆蓋的總長度取下確界，對空間的每個子集賦予大小。本章節定義外測度，證明其單調性和可數次可加性，並說明為何可數可加性在一般情況下會失敗——從而引出限制到可測集的必要性。
• σ 代數 Basis σ 代數（sigma-algebra）是在補集運算和可數聯集運算下封閉的子集族——亦即定義測度的自然定義域。本章節陳述公理、以 Borel σ 代數為典型例子加以說明，並解釋為何可數（而非有限）封閉性才是恰當的強度。